Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 1.26. Равномерное движение точки по окружности. Центростремительное ускорение

Характерные особенности этого движения содержатся в его названии: равномерное — значит с постоянной по модулю скоростью (и = const), no окружности — значит траектория — окружность.

Равномерное движение по окружности

До сих пор мы изучали движения с постоянным ускорением. Однако чаще встречаются случаи, когда ускорение изменяется.

Вначале мы рассмотрим простейшее движение с переменным ускорением, когда модуль ускорения не меняется. Таким движением, в частности, является равномерное движение точки по окружности: за любые равные промежутки времени точка проходит дуги одинаковой длины. При этом скорость тела (точки) не изменяется по модулю, а меняется лишь по направлению.

Мы по-прежнему будем считать тело настолько малым, что его можно рассматривать как точку. Для этого размеры тела должны быть малы по сравнению с радиусом окружности, по которой движется тело.

Среднее ускорение

Пусть точка в момент времени t занимает на окружности положение А, а через малый интервал времени Δt — положение А₁ (рис. 1.82, а). Обозначим скорость точки в этих положениях через и ₁. При равномерном движении v₁ = v.

Рис. 1.82

Для нахождения мгновенного ускорения сначала найдем среднее ускорение точки. Изменение скорости за время Δt равно Δ и = ₁ - (см. рис. 1.82, а).

По определению среднее ускорение равно

Центростремительное ускорение

Задачу нахождения мгновенного ускорения разобьем на две части: сначала найдем модуль ускорения, а потом его направление. За время Δt точка А совершит перемещение = Δ.

Рассмотрим треугольники ОАА₁ и А₁СВ (см. рис. 1.82, а). Углы при вершинах этих равнобедренных треугольников равны, так как соответствующие стороны перпендикулярны. Поэтому треугольники подобны. Следовательно,

Разделив обе части равенства на Δt, перейдем к пределу при стремлении интервала времени Δt —» 0:

Предел в левой части равенства есть модуль мгновенного ускорения, а предел в правой части равенства представляет собой модуль мгновенной скорости точки. Поэтому равенство (1.26.1) примет вид:

Отсюда

Очевидно, что модуль ускорения при равномерном движении точки по окружности есть постоянная величина, так как v и г не изменяются при движении.

Направление ускорения

Найдем направление ускорения . Из треугольника A₁CB следует, что вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол β = . Но при Δt —> О точка А₁ бесконечно близко подходит к точке А и угол α —» 0. Следовательно, вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол

Значит, вектор мгновенного ускорения а направлен к центру окружности (рис. 1.82, б). Поэтому это ускорение называется центростремительным (или нормальным¹).

Центростремительное ускорение на карусели и в ускорителе элементарных частиц

Оценим ускорение человека на карусели. Скорость кресла, в котором сидит человек, составляет 3—5 м/с. При радиусе карусели порядка 5 м центростремительное ускорение а = ≈ 2—5 м/с². Это значение довольно близко к ускорению свободного падения 9,8 м/с².

А вот в ускорителях элементарных частиц скорость оказывается довольно близкой к скорости света 3 • 10⁸ м/с. Частицы движутся по круговой орбите радиусом в сотни метров. При этом центростремительное ускорение достигает огромных значений: 10¹⁴—10¹⁵ м/с². Это в 10¹³—10¹⁴ раз превышает ускорение свободного падения.

Равномерно движущаяся по окружности точка имеет постоянное по модулю ускорение а = , направленное по радиусу к центру окружности (перпендикулярно скорости). Поэтому это ускорение называется центростремительным или нормальным. Ускорение а при движении непрерывно изменяется по направлению (си. рис. 1.82, б). Значит, равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением.

¹ От латинского слова normalis — прямой. Нормаль к кривой линии в данной точке — прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной, проведенной через ту же точку.