При решении задач на статику надо использовать условия равновесия (8.2.5), причем от векторного уравнения для суммы сил следует перейти к проекциям сил на координатные оси. Иногда, впрочем, удобнее решать задачу, используя геометрическое правило сложения векторов. При записи уравнения моментов вначале надо подумать, как выбрать ось, чтобы плечи сил определялись наиболее просто и были бы равны нулю для большинства сил.
Положение центра тяжести можно определить, используя формулы (8.3.8) и (8.3.9).
Применяя принцип минимума потенциальной энергии, нетрудно ответить в ряде случаев на многие вопросы, на которые дать обоснованный ответ другим способом значительно сложнее.
Ряд задач на динамику твердого тела можно решить, используя условия равновесия тел, если перейти в неинерциаль-ную систему отсчета, относительно которой тело покоится. При этом в условия равновесия наряду с обычными силами должны входить силы инерции и моменты этих сил.
Задача 1
Шар массой m подвешен на нити (рис. 8.24, а) и удерживается в отклоненном положении горизонтальной силой . Найдите угол а, который образует нить с вертикалью при равновесии. Чему при этом равна сила натяжения нити?
Рис. 8.24
Решение. На шар действуют три силы: сила тяжести т = m, сила и сила натяжения нити , направленная вдоль нити. По первому условию равновесия
Координатные оси направим так, как показано на рисунке 8.24, б. Так как сумма сил равна нулю, то и сумма проекций сил на обе оси координат равна нулю:
или для модулей проекций:
Откуда
Эту же задачу можно решить, используя правило сложения векторов. Так как сумма сил , m и равна нулю, то при сложении сил должен получиться треугольник. Начнем построение с известных сил. Сначала построим вектор силы mg (рис. 8.24, в). Из конца С этого вектора проведем вектор силы . Соединив конец вектора силы с точкой А, получим силовой треугольник ABC, в котором сторона АВ есть искомая сила . Из прямоугольного треугольника ABC находим:
Этот метод решения задачи оказывается более простым.
Задача 2
Однородная балка длиной 2l и массой m, расположенная горизонтально, одним концом шарнирно закреплена в точке А (рис. 8.25). Другой конец балки опирается в точке В на гладкую плоскость, наклоненную к горизонту под углом α. На балке на расстоянии а от шарнира А расположен груз массой m1. Найдите силы реакции шарнира и плоскости. Трение в шарнире отсутствует.
Рис. 8.25
Решение. На балку действуют четыре силы: сила реакции наклонной плоскости , сила тяжести = m, вес груза = mr и сила реакции со стороны шарнира (см. рис. 8.25), которую мы изобразили на рисунке условно, так как направление ее неизвестно.
Направим оси координат X и У так, как показано на рисунке.
Поскольку балка находится в равновесии, то сумма моментов сил относительно шарнира равна нулю:
Найдем плечи сил:
dN = АС = 2lsin (90° - α) = 2lcos α — плечо силы ,
dF = AD = l — плечо силы ,
dP = AK = а — плечо силы .
Плечо силы равно нулю, так как она приложена в шарнире и проходит через ось.
С учетом знаков моментов уравнение (8.5.1) запишется так:
Отсюда
Для нахождения силы реакции шарнира воспользуемся первым условием равновесия:
Запишем это уравнение в проекциях на координатные оси X и У:
Отсюда
Модуль силы реакции шарнира равен:
С осью X вектор силы образует угол у, косинус которого определяется выражением:
Задача 3
Четыре шара массами m, 2m, Зm, 4m расположены в вершинах проволочного квадрата, сторона которого равна 1 м. Найдите положение центра тяжести D системы; массами проволок можно пренебречь.
Решение. Координатные оси направим так, как показано на рисунке 8.26. Центры тяжести шаров расположены соответственно в точках О, А, В, С. Масса системы М = m + 2m + Зm + + 4m = 10m.
Рис. 8.26
Координаты центров шаров равны: х1 = О, х2 = 0, х3 = 1 м, х4 = 1 м, у1 = 0, у2 = 1 м, у3 = 1 м, у4 = 0. По формулам для координат центра тяжести имеем:
Центр тяжести системы расположен в точке D с координатами х = 0,7 м, у = 0,5 м.
Задача 4
К двум гвоздям, вбитым в стену, подвешен согнутый в середине стержень и веревка, длина которой равна длине стержня (рис. 8.27). У какого из тел центр тяжести расположен ниже?
Рис. 8.27
Решение. Для ответа на этот вопрос воспользуемся принципом минимума потенциальной энергии.
Мысленно натянем веревку за ее середину, так чтобы она совместилась со стержнем. В таком положении их центры тяжести совпадают. Если отпустить веревку, то она не остается в этом положении, а провиснет, т. е. перейдет из неустойчивого положения в устойчивое. Значит, потенциальная энергия веревки уменьшается, а центр тяжести опускается вниз.
Итак, центр тяжести расположен ниже у веревки, чем у стержня.
Задача 5
К гладкой вертикальной стене дома прислонена лестница. Угол между лестницей и горизонтальной поверхностью α = 60°. Центр тяжести лестницы находится посредине. Как направлена сила, действующая на лестницу со стороны земли?
Решение. На лестницу действуют сила тяжести т, сила со стороны земли и сила реакции стены . Так как стена гладкая, сила N перпендикулярна ей (рис. 8.28). Направление силы проще всего определить, если найти положение оси, относительно которой моменты сил т и равны нулю.
Рис. 8.29
Ось должна проходить через точку пересечения прямых ОА и ОВ перпендикулярно плоскости чертежа. Тогда и момент силы относительно этой оси должен быть равен нулю. Следовательно, вектор силы должен быть направлен таким образом, чтобы его продолжение прошло через точку О. Из рисунка 8.28 видно, что ΔCBD = ΔАОВ. Поэтому OB = BD. Обозначим длину отрезка CD буквой а, отрезка DB —b: CD = a, DB = b, OD = 2b. Из ΔOCD имеем:
а из ΔCDB:
Следовательно,
Отсюда
Таким образом, сила , действующая на лестницу со стороны земли, составляет с лестницей угол β ≈ 14°.
Сила, действующая на лестницу со стороны земли, направлена вдоль лестницы лишь в том случае, когда все остальные силы приложены к центру тяжести лестницы или же действуют вдоль нее.
Задача 6
На тележке, движущейся с ускорением, стоит кубик (рис. 8.29). За кубиком имеется небольшой выступ А, не позволяющий ему скользить по тележке. При каком ускорении а тележки кубик перевернется?
Рис. 8.29
Решение. На кубик в неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой, действует сила инерции н = -m (рис. 8.30), где m — масса кубика. Эта сила приложена к центру масс кубика (см. § 8.3).
Рис. 8.30
Кубик перевернется, если момент силы инерции относительно оси, проходящей через выступ А, больше момента силы тяжести относительно этой оси:
где b — длина ребра кубика. Отсюда а > g.
Решить эту задачу в инерциальной системе отсчета значительно труднее. Для этого нужно использовать законы движения твердого тела.
Упражнение 15
Через три отверстия в доске пропущены нити, связанные на одном конце общим узлом (рис. 8.31). К другим концам нитей подвешены одинаковые грузы. Найдите углы между нитями при расхождении их от узла, если система находится в равновесии. Трением пренебречь.
Рис. 8.31
Шарик радиусом г и массой т удерживается на неподвижном шаре радиусом R невесомой нитью, закрепленной в верхней точке шара. Нить расположена горизонтально, трение отсутствует (рис. 8.32). Найдите силу натяжения нити и силу , с которой большой шар действует на маленький шарик.
Рис. 8.32
На три пружины одинаковой длины положили балку так, что две пружины одинаковой жесткости подпирают концы балки, а в середине балку поддерживает пружина, жесткость которой в два раза больше. Найдите силы, действующие на балку со стороны пружин, если масса балки m.
При взвешивании на неравноплечих весах масса тела на одной чашке получилась равной 2 кг, а на другой 4,5 кг. Определите истинную массу тела.
Однородная палка массой m опирается о гладкую стену и гладкий пол. Чтобы палка не упала, ее удерживают горизонтально расположенной нитью. Один конец нити привязан к нижнему концу палки, а другой закреплен в углу между стеной и полом. Палка образует с полом угол α. Найдите силы реакции стены 1 пола 2, а также натяжение нити .
Каким должен быть коэффициент трения однородного стержня о пол, чтобы он был в равновесии в положении, показанном на рисунке 8.33? Стержень удерживается нитью, длина которой равна длине стержня. Угол между нитью и стержнем прямой. Точки A и С расположены на одной вертикали.
Рис. 8.33
Тяжелый однородный стержень согнули в середине под углом 90° и подвесили на нити за один из концов. Какой угол с вертикалью образует прикрепленная к нити сторона стержня?
Рычаг изогнут так, что его стороны АВ, ВС и CD равны между собой и образуют друг с другом прямые углы (рис. 8.34). Ось рычага проходит через точку В. Перпендикулярно плечу рычага АВ в точке А приложена сила . Определите минимальное значение силы, которую нужно приложить к точке D, чтобы рычаг находился в равновесии. Весом рычага пренебречь.
Рис. 8.34
Кирпич находится в равновесии на наклонной плоскости (рис. 8.35). Какая половина кирпича, правая или левая, оказывает большее давление на плоскость?
Рис. 8.35
Какой должна быть наименьшая скорость мотоциклиста, чтобы он мог ехать по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом 6 м в горизонтальной плоскости, если известно, что коэффициент трения скольжения между шинами и поверхностью цилиндра равен 0,4? Определите угол наклона корпуса мотоциклиста к вертикали.
Склейте цилиндр из плотной бумаги. Прикрепите на его внутренней стороне кусок пластилина. Теперь цилиндр можно заставить катиться вверх по наклонной плоскости. Проделайте опыт и объясните его (рис. 8.36).
Рис. 8.36
Доска длиной L = 3 м и массой m1 = 20 кг опирается на уступ таким образом, что она составляет с горизонтом угол α = 30°. Расстояние от свободного конца доски до уступа l = 1м (рис. 8.37). Плоский диск толкнули вверх по доске со скоростью v0. При каком минимальном значении скорости v0 нижний конец доски оторвется от пола? Масса диска m2 = 10 кг. Трение между доской и диском не учитывать.
Рис. 8.37
К гвоздю, вбитому в стену, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стены (рис. 8.38), причем нить составляет со стеной угол α = 30°. Радиус цилиндрической части катушки r = 1 см, радиус ее щечек R = 10 см. Найдите минимальное значение коэффициента трения между стеной и катушкой.
Рис. 8.38
На однородный цилиндр навита веревка, конец которой закреплен в верхней точке наклонной плоскости. Цилиндр расположен на наклонной плоскости так, что веревка горизонтальна (рис. 8.39). Масса цилиндра m = 10 кг. Найдите модуль силы нормального давления цилиндра на плоскость.
Рис. 8.39
Кубик массой m с длиной ребра l движется равномерно по горизонтальной плоскости. Сила приложена к ребру кубика в точке А. Коэффициент трения между кубиком и плоскостью равен μ. Под каким углом α к горизонту (рис. 8.40) должна действовать сила , чтобы ее модуль был минимальным? Найдите минимальное значение модуля силы .
Рис. 8.40
Три одинаковых невесомых стержня шарнирно закреплены в точках А и В, лежащих на одной горизонтали. Расстояние АВ в два раза превышает длину одного стержня. К шарниру С подвешен груз массой m (рис. 8.41). Какую наименьшую по модулю силу Fmin и в каком направлении нужно приложить к шарниру D, чтобы стержень CD был горизонтален?
Рис. 8.41
На каком расстоянии х от дна находится центр тяжести тонкостенного цилиндрического стакана высотой h = 12 см и диаметром d = 8 см, если толщина дна в два раза больше толщины стенок?
0пределите положение центра тяжести однородного диска радиусом R, из которого вырезано отверстие радиусом r < R/2. (рис. 8.42). Центр выреза находится на расстоянии R от центра диска.
Рис. 8.42
Однородный металлический стержень лежит в тележке длиной I и высотой h так, что его конец выступает наружу (рис. 8.43). С каким ускорением а должна двигаться тележка, чтобы стержень не давил на край ее передней стенки?
. Найдите угол а, который образует нить с вертикалью при равновесии. Чему при этом равна сила натяжения нити?
, сила 
, m
, сила тяжести 
= mr
со стороны шарнира (см. рис. 8.25), которую мы изобразили на рисунке условно, так как направление ее неизвестно.
(рис. 8.30), где m — масса кубика. Эта сила приложена к центру масс кубика (см. § 8.3).
