Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 9.5. Примеры решения задач

Диаметр стеклянной пробки, застрявшей в горлышке флакона, d₀ — 2,5 см. Чтобы вынуть пробку, горлышко нагрели до температуры t₁ = 150 °С. Сама пробка успела при этом нагреться до температуры t₂ = 50 °С. Как велик образовавшийся зазор? Температурный коэффициент линейного расширения стекла α₁ = 9 • 10^-6 К^-1.

Решение. Обозначим начальную температуру стеклянного флакона и застрявшей в нем пробки через t₀. Тогда после нагревания диаметр горлышка флакона будет

а диаметр пробки

Образовавшийся зазор между пробкой и горлышком составит

Подставляя числовые значения величин, найдем

Задача 2

Объем некоторой массы спирта при нагревании увеличился на ΔV = 5,5 см³. Начальная плотность спирта р₀ = 800 кг/м³, температурный коэффициент объемного расширения спирта α = 1,1 • 10^-3 К^-1. Удельная теплоемкость спирта с = 2,4 • 10³ Дж/(кг • К). Какое количество теплоты сообщено спирту?

Решение. Первоначальный объем спирта V₀. После нагревания он стал равен V = V₀(1 + αΔt). Изменение объема спирта

Количество теплоты, сообщенное спирту при нагревании,

где m = ρ₀V₀ — масса спирта.

Разделив почленно выражения (9.5.1) и (9.5.2), получим

отсюда

Задача 3

Как велика сила F, которую нужно приложить к медной проволоке с площадью поперечного сечения S = 10 мм², чтобы растянуть ее на столько же, на сколько она удлиняется при нагревании на Δt = 20 К? Коэффициент линейного расширения меди α₁ = 1,7 • 10^-5 К^-1, модуль Юнга Е = 1,2 • 10¹¹ Па.

Решение. Согласно закону Гука σ = Еε или , где F_y — сила упругости, возникающая в проволоке при ее относительном удлинении ε = , а Е — модуль упругости (модуль Юнга) меди. Приложенная к проволоке сила равна по модулю силе упругости, поэтому

Отсюда

Согласно условию задачи проволока должна получить такое же удлинение при нагревании на Δt:

Подставив в уравнение (9.5.3) выражение (9.5.4) для Δl, получим выражение для силы:

Задача 4

Определите длины l₀' и l₀" железной и медной линеек при температуре t₀ = 0 °С, если разности их длин при температурах t₁ = 50 °С и t₂ = 450 °С одинаковы по модулю и равны l = 2 см. Коэффициенты линейного расширения железа и меди соответственно равны α₁' = 1,2 • 10^-5 К^-1 и α₁" = 1,7 • 10^-5 К^-1.

Решение. Разность длин линеек при температуре t₁ равна

При температуре t₂ эта разность равна

Знак плюс соответствует случаю, когда разность длин линеек остается неизменной (рис. 9.11, а). Знаку минус соответствует случай, когда при температурах t₁ и t₂ разности длин линеек одинаковы по модулю, но противоположны по знаку (рис. 9.11, б).

Рис. 9.11

В первом случае система уравнений приводит к следующим результатам:

Во втором случае результаты получаются такими:

В обоих случаях при t₀ = 0 °С длина железной линейки должна быть больше медной.

Задача 5

При температуре t₀ = 0 °С стеклянный баллон вмещает m₀ = 100 г ртути. При температуре t₁ = 20 °С баллон вмещает m₁ = 99,7 г ртути. В обоих случаях температура ртути равна температуре баллона. Найдите по этим данным температурный коэффициент линейного расширения стекла α₁, учитывая, что коэффициент объемного расширения ртути α = 1,8 • 10^-4 К^-1.

Решение. Если вместимость баллона при 0 °С обозначить через V₀, то при температуре t₁ она будет равна

Обозначим через ρ₀ и ρ₁ плотности ртути при температурах t₀ и t₁. Тогда массы ртути при начальной и конечной температурах будут равны m₀ = ρ₀V₀ и m₁ = ρ₁V₁, причем согласно формуле (9.3.7)

Отсюда

Из выражения (9.5.5) находим

Подставляя в уравнение (9.5.6) значения V₀ и V₁, окончательно получим

Упражнение 8

1. Как должны относиться длины l₁ и l₂ двух стержней, сделанных из разных материалов, с температурными коэффициентами линейного расширения α₁' и α₁", чтобы при любой температуре разность длин стержней оставалась одинаковой?
2. Стальная балка наглухо закреплена между двумя стенами при температуре t₀ — 0 °С. При повышении температуры до t₁ = 10 °С она производит на стены давление р₁ = 3 • 10⁷Па. Какое давление р₂ будет оказывать на стены балка при температуре t₂ = 25 °С?
3. Из металлического диска вырезан сектор (рис. 9.12). Что произойдет с углом φ при нагревании диска?

   

   Рис. 9.12

4. Медный лист размером 60 х 50 см при 20 °С нагревается до 600 °С. Как изменится его площадь? Температурный коэффициент линейного расширения меди α₁ = 1,7 • 10^-5 К^-1.
5. Какое количество теплоты надо израсходовать, чтобы стальной рельс длиной 10 м и площадью поперечного сечения 20 см² удлинился на 6 мм? Плотность стали ρ = 7,8 • 10³кг/м³. Температурный коэффициент линейного расширения 1,2 • 10^-5 К^-1. Удельная теплоемкость стали с = 460 Дж/(кг • К).

6. Латунный сосуд при нагревании увеличился в объеме на n = 0,6% . На сколько градусов был нагрет сосуд, если температурный коэффициент линейного расширения латуни α₁ = 2 • 10^-5 К^-1?
7. Сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью, имеющей температуру t₁. При нагревании жидкости в одном из сосудов до температуры t₂ уровень жидкости в этом сосуде установился на высоте h₁, а в другом сосуде — на высоте h₂. Найдите температурный коэффициент объемного расширения жидкости α.
8. Определите объем шарика ртутного термометра, если известно, что при температуре t₀ = 0 °С ртуть заполняет шарик целиком, а объем канала между делениями, соответствующими 0 °С и 100 °С, равен V = 3 мм³. Температурный коэффициент объемного расширения ртути α = 1,8 • 10^-4 К^-1, температурный коэффициент линейного расширения стекла α₁ = 8 • 10^-6 К^-1.
9. В кварцевый сосуд объемом V = 2,5 л помещен латунный цилиндр, масса которого m = 8,5 кг. Остальная часть сосуда заполнена водой. При нагревании сосуда вместе с содержимым на Δt = 3 К уровень воды в сосуде не изменился. Найдите температурный коэффициент объемного расширения воды. Температурный коэффициент линейного расширения кварца α₁ = 4,2 • 10^-7 К^-1, латуни α₂ = 2 • 10^-5 К^-1. Плотность латуни ρ = 8,5 • 10³ кг/м³.