При решении большинства задач на материал § 8.9 используется уравнение теплового баланса с включаемой в него теплотой плавления Qпл = λm или теплотой кристаллизации Qкp = -λm.
Решение ряда задач требует знания кристаллической структуры вещества.
Задача 1
Кристаллы поваренной соли состоят из чередующихся ионов натрия и хлора, причем ячейка кристалла имеет форму куба (рис. 8.36). Определите средние расстояния между центрами ионов в ячейке. Молярная масса поваренной соли 0,058 кг/моль, а ее плотность 2200 кг/м3.
Рис. 8.36
Решение. Кубическая ячейка поваренной соли NaCl состоит из четырех ионов Na и четырех ионов Сl, находящихся в ее вершинах. Каждый ион (Na или Сl) входит в состав восьми ячеек. Поэтому в кристалле NaCl число кубических ячеек равно суммарному числу ионов Na и Сl. Следовательно, в одном моле поваренной соли содержится 2NA ячеек, где NA — постоянная Авогадро.
Обозначим искомое расстояние между ионами Na и Сl в ячейке буквой l, тогда объем ячейки будет равен l3. Объем одного моля (молярный объем) поваренной соли равен
С другой стороны, молярный объем поваренной соли можно найти, разделив молярную массу на плотность:
Из выражений (8.10.1) и (8.10.2) получаем
Отсюда
Задача 2
В массивный алюминиевый сосуд, нагретый до температуры t1 = 75 °С, положили лед массой m2 = 0,4 кг при температуре t2 = 0 °С. После установления теплового равновесия температура сосуда с его содержимым оказалась равной t = 50 °С. Какова масса m1 сосуда? Удельные теплоемкоёти алюминия и воды соответственно равны с1 = 770 Дж/(кг • К) и с2 = 4200 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда λ = 3,35 • 105 Дж/кг. Испарением воды и потерями тепла пренебречь.
Решение. Количество теплоты, отданное остывающим сосудом,
отрицательно, так как t < t1.
На плавление льда пошло количество теплоты
а на нагревание образовавшейся воды от 0 °С до температуры t — количество теплоты
Уравнение теплового баланса записывается в виде
или
Откуда находим
Задача 3
В калориметре находится вода массой m1 = 400 г при температуре t1 = 5 °С. К ней долили еще 200 г (m2) воды при температуре t2 = 10 °С и положили лед массой m3 = 400 г при температуре t3 = 60 °С. Какая температура t установится в калориметре? Удельные теплоемкости льда и воды соответственно равны сл = 2,1 • 103 Дж/(кг • К) и св = 4,2 • 103 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда λ = 3,35 • 105 Дж/кг.
Решение. В этой и подобных ей задачах не следует торопиться составлять уравнение теплового баланса. Надо сначала выяснить, расплавится ли весь лед. Количество теплоты, которое выделяется водой при охлаждении до t0 = 0 °С, равно
Для нагревания льда до 0 °С требуется
Следовательно, лед может нагреваться до температуры плавления только за счет энергии, выделяющейся при замерзании воды. Для выделения недостающего количества теплоты Q3 = 33 600 Дж должна замерзнуть вода массой
В результате в калориметре образуется смесь из 500 г воды и 500 г льда, находящихся при температуре 0 °С.
Задача 4
С какой скоростью должна лететь свинцовая пуля, чтобы, ударившись о преграду, расплавиться, если до удара температура пули была t = 127 °С? При ударе на нагревание пули затрачивается η = 80% энергии пули (остальная энергия рассеивается в окружающее пространство). Удельная теплоемкость свинца с = 120 Дж/(кг • К), температура плавления свинца tпл = 327 °С. Удельная теплота плавления λ = 2,5 • 104 Дж/кг.
Решение. Кинетическая энергия летящей пули , где m — масса пули, v — ее скорость. На нагревание и плавление пули затрачивается энергия .
С другой стороны, на нагревание и плавление пули должно быть затрачено количество теплоты, равное
Следовательно, согласно закону сохранения энергии
Отсюда
Упражнение 7
Если тело обладает анизотропией, означает ли это, что оно обязательно является кристаллическим?
Сколько атомов приходится на одну ячейку в кристаллах с объемно-центрированной кубической структурой (см. рис. 8.11)?
Сколько элементарных ячеек содержится в 1 см3 свинца? Кристаллическая решетка свинца гранецентрированная (см. рис. 8.9). Плотность свинца ρ = 11 300 кг/м2. Молярная масса свинца М = 0,207 кг/моль. Постоянная Авогадро NA = 6,02 • 10-23 моль-1.
Равные количества соли растворяют в двух одинаковых сосудах с водой. В одном случае соль берут в виде одного большого кристалла, а в другом — в виде порошка. В каком случае температура раствора после полного растворения соли будет выше, если до растворения соль и вода находились в обоих случаях при одинаковой температуре?
Вода в стакане замерзает при 0 °С. Если же эту воду расчленить на маленькие капельки, то вода в них может быть переохлаждена до -40 °С. Так, например, капельки воды, из которых состоят облака, обычно начинают замерзать при температуре ниже -17 °С. Как объяснить этот факт?
Какая температура установится в латунном калориметре массой m1 — 160 г, содержащем m2 = 400 г воды при температуре t1 = 25 °С, после того как расплавится помещенный в воду кусок льда массой m3 = 50 г, взятый при температуре t2 = 0 °С? Удельные теплоемкости латуни и воды равны соответственно с1 = 380 Дж/(кг • К) и с2 = 4,2 • 103 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда λ = 3,34 • 105 Дж/кг.
В калориметре находится лед. Определите теплоемкость калориметра, если для нагревания его вместе с содержимым от 270 до 272 К требуется количество теплоты, равное Q1 = 2100 Дж, а от 272 до 274 К — количество теплоты, равное Q2 = 69 700 Дж. Удельные теплоемкости льда и воды равны соответственно с1 = 2,1 • 103 Дж/(кг-К) и с2 = 4,2 • 103 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда λ = 3,34 • 105 Дж/кг.
В массивный алюминиевый сосуд, нагретый до температуры t1 = 300 °С, положили лед массой m2 = 0,25 кг при температуре t2 = 0 °С. Когда температура сосуда сравнялась с температурой его содержимого, оказалось, что в сосуде находится вода массой m3 = 0,24 кг при t3 = 100 °С. Какова масса сосуда? Удельная теплоемкость алюминия с1 = 800 Дж/(кг • К), удельная теплоемкость воды с3 = 4,2 • 103 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда λ = 3,34 • 105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды при 100 °С r =2,3 • 106 Дж/кг.
Осторожно охлаждая 0,5 кг воды, удалось довести ее температуру до -8 °С. Какое количество льда образуется, если бросить в воду маленький кусочек льда? Удельная теплота плавления льда λ = 3,34 • 105 Дж/кг. Считать удельную теплоемкость переохлажденной воды такой же, как и обычной воды, т. е. с = 4,2 • 103 Дж/(кг • К).
В сосуде, из которого быстро выкачивают воздух, находится небольшое количество воды при 0 °С. За счет интенсивного испарения происходит постепенное замораживание воды. Какая часть первоначального количества воды может быть обращена таким образом в лед при 0 °С? Удельная теплота плавления льда при 0 °С равна λ = 3,34- 105Дж/кг, удельная теплота парообразования воды при 0 °С r = 2,5 • 106 Дж/кг.
В воду объемом 1 л при 20 °С бросили комок мокрого снега массой 250 г. Когда весь снег растаял, то общая температура стала равной 5 °С. Определите количество воды в комке снега.
Сосуд со 100 г воды при температуре 0 °С был подвешен посредине комнаты. Через 15 мин температура воды в нем поднялась до 2 °С. Когда же в сосуде находилось равное по массе количество льда, то лед растаял за 10 ч. Можно ли по этим данным оценить удельную теплоту плавления льда λ?
Лед массой 100 г при температуре 0 °С помещен в теплонепроницаемую оболочку и подвергнут сжатию до давления р = 1200 атм. Найдите массу растаявшей части льда, если понижение температуры плавления происходит прямо пропорционально давлению и при увеличении давления на 138 атм температура плавления понижается на 1 °С.
В теплоизолированном сосуде содержится смесь воды массой m1 = 500 г и льда массой m2 = 54,4 г при температуре t1 = 0 °С. В сосуд вводится насыщенный пар массой m3 = 6,6 г при температуре t2 = 100 °С. Какой будет температура t после установления теплового равновесия? Удельная теплота парообразования воды г = 2,3 • 106 Дж/кг, удельная теплота плавления льда λ = 3,34 • 105 Дж/кг, удельная теплоемкость воды с = 4,2 • 103 Дж/(кг • К).
Два одинаковых кусочка льда летят навстречу друг другу с равными по модулю скоростями и при ударе обращаются в пар. Оцените минимально возможные скорости льдинок перед ударом, если их температура равна -12 °С. Удельная теплоемкость льда с = 2,1 • 103 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда при 0 °С λ = 3,34 • 105 Дж/кг.
с включаемой в него теплотой плавления Qпл = λm или теплотой кристаллизации Qкp = -λm.
, где m — масса пули, v — ее скорость. На нагревание и плавление пули затрачивается энергия 
.
