Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 5.12. Максимальный кпд тепловых двигателей

• Из-за того что часть теплоты при работе тепловых двигателей неизбежно передается холодильнику, КПД двигателей не может равняться единице. Представляет большой интерес нахождение максимально возможного КПД теплового двигателя, работающего с нагревателем температуры Тг и холодильником температуры Т2. Впервые это сделал французский инженер и ученый Сади Карно.

Идеальная тепловая машина Карно

Карно придумал идеальную тепловую машину с идеальным газом в качестве рабочего тела. Все процессы в машине Карно рассматриваются как равновесные (обратимые).

В машине осуществляется круговой процесс или цикл, при котором система после ряда преобразований возвращается в исходное состояние. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух, адиабат (рис. 5.16). Кривые 1—2 и 3—4 — это изотермы, а 2—3 и 4—1 — адиабаты.

Рис. 5.16

Сначала газ расширяется изотермически при температуре T₁. При этом он получает от нагревателя количество теплоты Q₁. Затем он расширяется адиабатно и не обменивается теплотой с окружающими телами. Далее следует изотермическое сжатие газа при температуре Т₂. Газ отдает в этом процессе холодильнику количество теплоты Q₂. Наконец газ сжимается адиабатно и возвращается в начальное состояние.

При изотермическом расширении газ совершает работу А'₁ > О, равную количеству теплоты Q₁. При адиабатном расширении 2—3 положительная работа А'₃ равна уменьшению внутренней энергии при охлаждении газа от температуры T₁ до температуры Т₂: А'₃ = -ΔU₁₂ = U(T₁) - U (Т₂).

Изотермическое сжатие при температуре Т₂ требует совершения над газом работы А₂. Газ совершает соответственно отрицательную работу А'₂ = -А₂ = Q₂. Наконец, адиабатное сжатие требует совершения над газом работы А₄ = ΔU₂₁. Работа самого газа А'₄ = -А₄ = -ΔU₂₁ = U(T₂) - U(Т₁). Поэтому суммарная работа газа при двух адиабатных процессах равна нулю. За цикл газ совершает работу

Эта работа численно равна площади фигуры, ограниченной кривой цикла (заштрихована на рис. 5.16).

Для вычисления коэффициента полезного действия нужно вычислить работы при изотермических процессах 1—2 и 3—4. Расчеты приводят к следующему результату:

Коэффициент полезного действия тепловой машины Карно равен отношению разности абсолютных температур нагревателя и холодильника к абсолютной температуре нагревателя.

Карно Никола Леонар Сади (1796— 1832) — талантливый французский инженер и физик, один из основателей термодинамики. В своем труде «Размышление о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» (1824 г.) впервые показал, что тепловые двигатели могут совершать работу лишь в процессе перехода теплоты от горячего тела к холодному. Карно придумал идеальную тепловую машину, вычислил коэффициент полезного действия идеальной машины и доказал, что этот коэффициент является максимально возможным для любого реального теплового двигателя.

Можно выразить работу, совершаемую машиной за цикл, и количество отданной холодильнику теплоты Q₂ через КПД машины и полученное от нагревателя количество теплоты Q₁. Согласно определению КПД

Количество теплоты

Так как η < 1, то

Идеальная холодильная машина

Цикл Карно обратим, поэтому его можно провести в обратном направлении. Это будет уже не тепловая машина, а идеальная холодильная машина.

Процессы пойдут в обратном порядке. Работа А совершается для приведения в действие машины. Количество теплоты Q₁ передается рабочим телом нагревателю более высокой температуры, а количество теплоты Q₂ поступает к рабочему телу от холодильника (рис. 5.17). Теплота передается от холодного тела к горячему, поэтому машина и называется холодильной.

Рис. 5.17

Но второму закону термодинамики это не противоречит: теплота переходит не сама собой, а за счет совершения работы.

Выразим количества теплоты Q₁ и Q₂ через работу А и КПД машины η. Так как согласно формуле (5.12.3) А' = ηQ₁ = -A, то

Передаваемое рабочим телом количество теплоты, как всегда, отрицательно. Очевидно, |Q₁| = . Согласно выражению (5.12.4) количество теплоты Q₂ = Q₁(η - 1) или с учетом соотношения (5.12.3)

Такое количество теплоты получает рабочее тело от холодильника.

Холодильная машина работает как тепловой насос(1). Горячему телу передается количество теплоты Q₁, большее того количества, которое забирается от холодильника. Согласно формуле (5.12.7) Q₂ = - А = -Q₁ - А. Отсюда

Эффективность холодильной машины определяется отношением ε = , так как ее назначение отнимать как можно большее количество теплоты от охлаждаемой системы при совершении как можно меньшей работы. Величина ε называется холодильным коэффициентом. Для идеальной холодильной машины согласно формулам (5.12.7) и (5.12.2)

т. е. холодильный коэффициент тем больше, чем меньше разность температур, и тем меньше, чем меньше температура того тела, от которого отбирается теплота. Очевидно, холодильный коэффициент может быть больше единицы. Для реальных холодильников он более трех. Разновидностью холодильной машины является кондиционер, который забирает теплоту из комнаты и передает ее окружающему воздуху.

Тепловой насос

При отоплении помещений электрообогревателями энергетически выгоднее использовать тепловой насос, а не просто нагреваемую током спираль. Насос дополнительно будет передавать в помещение количество теплоты Q₂ из окружающего воздуха. Однако это не делают из-за дороговизны холодильной установки по сравнению с обычной электрической печкой или камином.

При использовании теплового насоса практический интерес представляет количество теплоты Q₁, получаемое нагреваемым телом, а не количество теплоты Q₂, отдаваемое холодному телу. Поэтому характеристикой теплового насоса является так называемый отопительный коэффициент ε_от = .

Для идеальной машины, учитывая соотношения (5.12.6) и (5.12.2), будем иметь

где Т₁ — абсолютная температура нагреваемого помещения, а T₂ — абсолютная температура атмосферного воздуха. Таким образом, отопительный коэффициент всегда больше единицы. Для реальных устройств при температуре окружающей среды t₂ = 0 °С и температуре помещения t₁ = 25 °С ε_от = 12. В помещение передается количество теплоты, почти в 12 раз превышающее количество затраченной электроэнергии.

Максимальный КПД тепловых машин (теорема Карно)

Главное значение полученной Карно формулы (5.12.2) для КПД идеальной машины состоит в том, что она определяет максимально возможный КПД любой тепловой машины.

Карно доказал, основываясь на втором законе термодинамики(2), следующую теорему: любая реальная тепловая машина, работающая с нагревателем температуры Т₁ и холодильником температуры Т₂, не может иметь коэффициент полезного действия, превышающий КПД идеальной тепловой машины.

Рассмотрим вначале тепловую машину, работающую по обратимому циклу с реальным газом. Цикл может быть любым, важно лишь, чтобы температуры нагревателя и холодильника были Т₁ и Т₂.

Допустим, что КПД другой тепловой машины (не работающей по циклу Карно) η' > η. Машины работают с общим нагревателем и общим холодильником. Пусть машина Карно работает по обратному циклу (как холодильная машина), а другая машина — по прямому циклу (рис. 5.18).

Рис. 5.18

Тепловая машина совершает работу, равную согласно формулам (5.12.3) и (5.12.5)

Холодильную машину всегда можно сконструировать так, чтобы она брала от холодильника количество теплоты Q₂ = |Q'₂|.

Тогда согласно формуле (5.12.7) над ней будет совершаться работа

Так как по условию η' > η, то А' > А. Поэтому тепловая машина может привести в действие холодильную машину, да еще останется избыток работы. Эта избыточная работа совершается за счет теплоты, взятой от одного источника. Ведь холодильнику при действии сразу двух машин теплота не передается. Но это противоречит второму закону термодинамики.

Если допустить, что η > η', то можно другую машину заставить работать по обратному циклу, а машину Карно — по прямому. Мы опять придем к противоречию со вторым законом термодинамики. Следовательно, две машины, работающие по обратимым циклам, имеют одинаковые КПД: η' = η.

Иное дело, если вторая машина работает по необратимому циклу. Если допустить η' > η, то мы опять придем к противоречию со вторым законом термодинамики. Однако допущение η' < η не противоречит второму закону термодинамики, так как необратимая тепловая машина не может работать как холодильная машина. Следовательно, КПД любой тепловой машины η' ≤ η, или

Это и есть основной результат:

КПД реальных тепловых машин

Формула (5.12.13) дает теоретический предел для максимального значения КПД тепловых двигателей. Она показывает, что тепловой двигатель тем эффективнее, чем выше температура нагревателя и ниже температура холодильника. Лишь при температуре холодильника, равной абсолютному нулю, η = 1.

Но температура холодильника практически не может быть намного ниже температуры окружающего воздуха. Повышать температуру нагревателя можно. Однако любой материал (твердое тело) обладает ограниченной теплостойкостью, или жаропрочностью. При нагревании он постепенно утрачивает свои упругие свойства, а при достаточно высокой температуре плавится.

Сейчас основные усилия инженеров направлены на повышение КПД двигателей за счет уменьшения трения их частей, потерь топлива вследствие его неполного сгорания и т. д. Реальные возможности для повышения КПД здесь все еще остаются большими. Так, для паровой турбины начальные и конечные температуры пара примерно таковы: Т₁ = 800 К и Т₂ = 300 К. При этих температурах максимальное значение коэффициента полезного действия равно

Действительное же значение КПД из-за различного рода энергетических потерь приблизительно равно 40%. Максимальный КПД — около 44% — имеют двигатели внутреннего сгорания.

Коэффициент полезного действия любого теплового двигателя не может превышать максимально возможного значения , где Т₁ — абсолютная температура нагревателя, а Т₂ — абсолютная температура холодильника.

Повышение КПД тепловых двигателей и приближение его к максимально возможному — важнейшая техническая задача.

(1) Однако это не означает, что холодильная машина и тепловой насос — это одно и то же. Назначение холодильной машины — охлаждать некоторый резервуар, передавая теплоту в окружающую среду. Назначение теплового насоса — нагревать резервуар, забирая теплоту из окружающей среды.

(2) Карно фактически установил второй закон термодинамики до Клаузиуса и Кельвина, когда еще первый закон термодинамики не был сформулирован строго.