Физика
Учебник для 10-11 классов

       

§ 5.9. Примеры решения задач

При решении задач на материал этой главы нужно уметь с помощью правила Ленца определять направление индукционного тока. Для вычисления ЭДС индукции следует использовать формулы (5.3.3), (5.5.2), а для ЭДС самоиндукции и взаимной индукции — формулы (5.7.2) и (5.7.4). Энергию тока вычисляют по формуле (5.8.1), а плотность энергии магнитного поля — по формуле (5.8.6). Для решения некоторых задач надо применять закон Ампера (4.7.9).

Задача 1

Проволочное кольцо радиусом г находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца и меняется с течением времени по закону В = kt. Определите напряженность электрического поля в витке.

Решение. Согласно закону электромагнитной индукции (5.3.2)

с другой стороны, ЭДС индукции численно равна работе, совершаемой вихревым электрическим полем при перемещении единичного положительного заряда вдоль проволочного кольца (см. § 4.4), т. е.

Сравнивая выражения (5.9.1) и (5.9.2), получим:

Отсюда

Задача 2

В однородном проволочном кольце создан постоянный индукционный ток I. Линии индукции переменного магнитного поля, создающего этот ток, перпендикулярны плоскости кольца. Поле сосредоточено вблизи его оси и имеет ось симметрии, проходящую через центр кольца (рис. 5.18). Чему равна разность потенциалов между точками А и В? Что будет показывать электрометр, присоединенный к этим точкам?

Рис. 5.18

Решение. Разность потенциалов между любыми точками кольца должна быть равна нулю. В противном случае мы придем к противоречию, применяя закон Ома к короткому и длинному участкам кольца. Кроме того, это очевидно и из соображений симметрии.

Отсутствие разности потенциалов означает, что кулонов-ское поле внутри кольца равно нулю. Ток возникает вследствие наличия ЭДС индукции, распределенной равномерно вдоль кольца:

где еi, и Ei — ЭДС индукции на коротком и длинном участках кольца, а r и R — соответственно сопротивления участков.

Несмотря на отсутствие разности потенциалов между точками А к В, электрометр обнаружит разность потенциалов между стержнем и корпусом.

Дело в том, что в проводниках АС и BD ток равен нулю. Следовательно, в каждой точке этих проводников стороннее электрическое поле индукционного происхождения уравновешивается кулоновским (потенциальным) полем, возникающим вследствие перераспределения зарядов в проводниках под влиянием ЭДС индукции. Работа потенциальных сил при перемещении по замкнутому контуру ACDBA равна нулю. На участке АВ кулоновское поле отсутствует. При перемещении единичного заряда по проводникам АС и BD работа потенциальных сил численно равна ЭДС индукции в этих проводниках и имеет противоположный знак.

Следовательно, для равенства нулю работы кулоновских сил вдоль замкнутого контура необходимо, чтобы разность потенциалов между точками С к D равнялась ЭДС индукции в проводниках АС и DB и совпадала с ней по знаку. Так как ЭДС индукции в замкнутом контуре ACDBA равна нулю (магнитное поле не пронизывает этот контур), то на участке АВ ЭДС индукции равна по модулю и противоположна по знаку ЭДС в проводниках АС и ВD, если пренебречь работой сторонних сил индукции на участке между стержнем и корпусом электрометра по сравнению с работой в проводниках АС и BD.

Поэтому электрометр покажет разность потенциалов, приблизительно равную ЭДС на участке АВ.

Задача 3

По параллельным рельсам, наклоненным под углом α = 30° к горизонту, соскальзывает без трения с постоянной скоростью υ = 1 м/с проводящая перемычка массой m — 100 г. В своей верхней части рельсы замкнуты проводником. Рельсы с перемычкой нгдодятся в однородном магнитном поле, индукция которого направлена вертикально. Сопротивление перемычки R = 2 Ом гораздо больше сопротивления остальной части системы. Чему равна сила тока I в перемычке?

Решение. На перемычку действуют три силы: сила тяжести m, сила реакции рельсов и сила Ампера A, направленная вправо (рис. 5.19). Направление силы Ампера не зависит от направления вектора В. При изменении направления В на противоположное меняется направление индукционного тока, возникающего в перемычке при ее движении, но направление силы Ампера не меняется.

Рис. 5.19

Так как, согласно условию, перемычка соскальзывает по рельсам с постоянной скоростью без трения, то векторная сумма действующих на нее сил равна нулю:

Запишем это уравнение для модулей проекций на ось X, направленную так, как показано на рисунке 5.19:

Сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля на перемычку, равна:

где В — индукция магнитного поля, l — длина перемычки. Тогда уравнение (5.9.3) примет вид:

ЭДС индукции, возникающая в перемычке при ее движении вниз по рельсам со скоростью , равна:

Согласно закону Ома

Поделив почленно равенство (5.9.4) на равенство (5.9.5), получим:

Отсюда

Задача 4

Из провода длиной l изготовили соленоид длиной l0. Диаметр соленоида d << l0. Определите индуктивность соленоида.

Решение. Согласно формуле (5.7.1) поток магнитной индукции Ф сквозь соленоид, в обмотке которого создан ток I, равен:

где L — искомая индуктивность.

Поток магнитной индукции

где В — индукция магнитного поля соленоида, S — площадь его поперечного сечения, w — число витков соленоида. Если d << l0, то магнитная индукция соленоида определяется по формуле (4.11.10):

где

Таким образом,

Следовательно,

Задача 5

Поверх длинного соленоида, имеющего ω1 витков, длину д и площадь сечения S, вплотную намотан по всей длине второй соленоид, имеющий ω2 витков и приблизительно такую же площадь сечения S. Определите взаимную индуктивность соленоидов.

Решение. Первый соленоид создает магнитное поле, индукция которого равна:

Это поле создает сквозь второй соленоид магнитный поток Ф1,2, равный:

Отсюда для взаимной индуктивности L1,2 получается выражение

Аналогично получаем выражение для потока магнитной индукции Ф2,1, созданного вторым соленоидом и пронизывающего первый соленоид:

Отсюда

Из сравнения выражений (5.9.6) и (5.9.7) убеждаемся, что

Задача 6

Кольцо из сверхпроводника помещено в однородное магнитное поле, индукция которого нарастает от нуля до В0. Плоскость кольца перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Чему равен индукционный ток, возникающий в кольце? Радиус кольца r, индуктивность L.

Решение. Так как сопротивление кольца R = 0, то, согласно закону Ома, и ЭДС в кольце всегда должна быть равна нулю. Это может быть только в том случае, если изменение полного магнитного потока, пронизывающего кольцо, равно нулю:

Так как Δt = 0, то ΔФ = 0, т. е. Ф = const.

Следовательно, изменение внешнего магнитного потока Ф0 равно по модулю и противоположно по знаку изменению магнитного потока, созданного индукционным током: ΔФ0 = LΔl.

Учитывая, что поток Ф0 нарастает от до πr2B0, а индукционный ток меняется при этом от 0 до I, получим:

Отсюда

Упражнение 9

1. Катушка из ω витков, площадь каждого из которых равна S, присоединена к баллистическому гальванометру. (Баллистический гальванометр измеряет прошедший через него заряд.) Сопротивление всей цепи R. Вначале катушка находилась между полюсами магнита в области, где магнитная индукция постоянна по модулю и направлена перпендикулярно виткам катушки. Затем катушку переместили в пространство, где магнитное поле отсутствует. Чему равен заряд q, прошедший через гальванометр?

2. Прямоугольная рамка ABCD расположена в плоскости бесконечного прямолинейного проводника с током, причем стороны AD и ВС параллельны проводнику (рис. 5.20). В середине стороны DC включен прибор, измеряющий заряд, протекающий по контуру (на рисунке не показан). Рамку можно перевести в новое положение, изображенное на рисунке 5.20 ихтриховой линией, двумя способами: а) перемещая ее параллельно самой себе; б) вращая на 180° вокруг стороны ВС. В каком случае заряд, протекший через прибор, больше?

Рис. 5.20

3. Прямоугольный контур ABCD перемещается поступательно в магнитном поле тока I, текущего по длинному прямому проводу 00' (рис. 5.21). Стороны AD и ВС параллельны проводу. Определите силу тока, индуцированного в контуре, если контур перемещается с постоянной скоростью и; AD = ВС = a; АВ = DC = b. Сопротивление контура R.

Рис. 5.21

4. Стержень длиной L = 1 м вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью ω = 2 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией В = 10-2 Тл вокруг оси, проходящей через один из концов стержня. Индукция магнитного поля направлена вертикально. Определите разность потенциалов U между концами стержня.

5. Определите силу тока в проводниках цепи, изображенной на рисунке 5.22, если индукция однородного магнитного поля перпендикулярна плоскости чертежа и модуль ее изменяется по закону В = kt. Сопротивление единицы длины проводников равно r.

Рис. 5.22

6. Переменное магнитное поле создает в кольцевом проводнике ADBKA постоянную ЭДС индукции E. Сопротивления проводников ADB, АКВ и АСВ (рис. 5.23) равны соответственно R1, R2 и R3. Какую силу тока показывает амперметр, включенный в участок АСВ? Магнитное поле сосредоточено у оси кольцевого проводника.

Рис. 5.23

7. Прямоугольная проволочная рамка со сторонами а = 5 см и b = 10 см входит с постоянной скоростью υ = 1 м/с своей меньшей стороной в большую область однородного магнитного поля, индукция которого, равная по модулю В = 0,01 Тл, направлена по нормали к плоскости рамки. Сопротивление рамки R = 0,01 Ом. Какую работу А совершает индукционный ток за время Δt = 0,5 с с момента, когда рамка начинает входить в поле?

8. По двум вертикальным рейкам АВ и CD (рис. 5.24), соединенным резистором R, может без трения скользить проводник длиной l и массой m. Система находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости рисунка и направлена к нам. Как будет двигаться подвижный проводник, если пренебречь сопротивлением самого проводника и реек?

Рис. 5.24

9. Проводник длиной l может без трения скользить по рейкам АВ и CD, соединенным через резистор сопротивлением R (рис. 5.25), в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости чертежа. Какую силу следует приложить к проводнику, чтобы он двигался равномерно со скоростью ?

Рис. 5.25

10. Проволочная рамка в форме равностороннего треугольника со стороной а = 5 см входит в область однородного магнитного поля. Рамка движется поступательно с постоянной скоростью υ = 20 м/с так, что одна сторона ее перпендикулярна границе области магнитного поля, а плоскость рамки перпендикулярна направлению вектора магнитной индукции. Какого максимального значения достигнет сила индукционного тока в рамке при ее движении? Сопротивление рамки R = 10-2 Ом. Индукция магнитного поля В = 1,5 • 10-2 Тл.

11. По двум металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости и замкнутым нa конденсатор С, может без трения двигаться проводник массой m и длиной l. Вся система находится в однородном магнитном поле, индукция которого направлена вверх. К середине проводника перпендикулярно к нему и параллельно рейкам приложена сила (рис. 5.26). Определите ускорение подвижного проводника, если сопротивление реек, подводящих проводов и подвижного проводника равно нулю. Какие виды энергии возникают за счет работы силы ? Считать, что в начальный момент скорость проводника равна нулю. Индуктивностью цепи пренебречь.

Рис. 5.26

12. На цилиндр из немагнитного материала намотан соленоид из ω витков проволоки. Радиус цилиндра r, его длина l (г << l). Сопротивление проволоки R. Каким должно быть напряжение на зажимах соленоида, чтобы сила тока возрастала прямо пропорционально времени, т. е. чтобы выполнялось равенство l = kt?

13. Поверх длинного соленоида вплотную намотана катушка. Сила тока в соленоиде нарастает прямо пропорционально времени. Каков характер зависимости силы тока от времени в катушке?

14. К источнику тока параллельно подключены конденсатор емкостью С = 10 мкФ и катушка индуктивностью L = 0,01 Гн. Сила тока в катушке I = 2 А, а напряжение на конденсаторе U = 10 В. Затем источник отключают. Какой заряд q будет на конденсаторе в тот момент, когда сила тока в катушке окажется равной нулю? Потерями энергии пренебречь.

15. В однородном магнитном поле с индукцией находится сверхпроводящее кольцо радиусом г. Линии индукции перпендикулярны плоскости кольца. Тока в кольце нет. Какой магнитный поток будет пронизывать кольцо после того, как магнитное поле перестанет действовать?

16. Перед полюсом электромагнита на длинной нити подвешено кольцо из сверхпроводника (рис. 5.27). Что произойдет с кольцом, если по обмотке электромагнита пропустить переменный ток?

Рис. 5.27

17. Два сверхпроводящих кольца радиусами г находятся на расстоянии d друг от друга, причем d >> г. Центры колец лежат на прямой ОО', перпендикулярной плоскостям обоих колец. Кольца могут перемещаться только вдоль этой прямой. В начальный момент по кольцам текут в одном направлении токи I0 (рис. 5.28). Чему будут равны силы токов в кольцах после того, как они сблизятся вплотную?

Рис. 5.28

Рейтинг@Mail.ru