Физика
Учебник для 10-11 классов

       

§ 4.11. Примеры решения задач

При решении задач по теме «Магнитное поле тока» надо уметь применять закон Био—Савара—Лапласа (4.7.8), закон Ампера (4.7.9), выражения для силы взаимодействия двух параллельных токов (4.6.3) и силы Лоренца (4.9.4). Надо также знать формулу (4.3.1), определяющую модуль магнитной индукции, принцип суперпозиции магнитных полей (4.3.2), формулу для магнитной индукции поля прямого тока (4.7.10), значение магнитной постоянной (4.7.6).

Необходимо уметь, используя векторную запись законов Ампера и Био—Савара—Лапласа, определять направление силы, действующей на элемент проводника с током, при заданных направлениях тока и магнитной индукции, и направление магнитной индукции, созданной элементом тока. Нужно уметь также определять направление силы Лоренца.

Задача 1

Сила тока в кольце радиусом R равна I. Определите индукцию магнитного поля в произвольной точке, лежащей на перпендикуляре, восставленном к плоскости кольца из его центра.

Решение. Пусть ОА — перпендикуляр к плоскости кольца, проходящий через его центр О (рис. 4.54, а). Определим магнитную индукцию в точке А, отстоящей на расстоянии d от контура (ОА = d). Расстояние элементов тока кольца Δ от точки А обозначим через r.

Рис. 4.54

Согласно закону Био—Савара—Лапласа (4.5.4) элемент тока Δ создает в точке А магнитную индукцию

Так как = + (см. рис. 4.54, а), то

Для нахождения индукции магнитного поля, созданного кольцом с током, надо просуммировать векторы Δi, создаваемые отдельными элементами тока Δi:

Bce векторы Δi x направлены вниз, поэтому их сумма находится простым сложением;

При нахождении суммы

приходится складывать равные по модулю, но радиально расходящиеся векторы (рис. 4.54, б). Сумма таких векторов равна нулю:

Подставляя значения (4.11.4) и (4.11.5) в выражение (4Л1.3), получим:

Так как

то

Задача 2

Вдоль клина с углом а при основании проложены рельсы, расстояние между которыми l. По рельсам с трением (коэффициент трения равен μ) скользит проводящий брусок массой m. Какой ток I следует пропустить через брусок, чтобы он не скользил вниз, если вся система находится в магнитном поле, индукция которого направлена вертикально?

Решение. На брусок действуют сила тяжести m, сила реакции рельсов , сила трения тр. При создании тока через брусок добавляется сила Ампера A (рис. 4.55).

Рис. 4.55

Брусок не будет скользить вниз, если

Следовательно,

Отсюда

Поскольку A = BIl, то

Проанализируйте самостоятельно, при какой силе тока брусок не будет скользить вверх.

Задача 3

Альфа-частица (заряд q = 3,2 • 10-19 Кл, масса m = 6,7 • 10-27 кг) начинает двигаться со скоростью υ = 4000 км/с в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,15 Тл. Начальная скорость частицы составляет с вектором угол α = 60°. Покажите, что траектория а частицы представляет собой винтовую линию. Каковы радиус и шаг этой винтовой линии?

Решение. Вектор скорости α частицы можно представить как сумму двух векторов, из которых 1, а 2 ll (рис. 4.56).

Рис. 4.56

Вектор 2 не меняется ни по модулю, ни по направлению, так как сила Лоренца не действует на частицу, имеющую скорость вдоль поля (вдоль вектора ). Вектор 1 меняется по направлению, так как на а-частицу действует сила Лоренца, постоянная по модулю и перпендикулярная скорости 1. Эта сила сообщает α-частице постоянное по модулю ускорение, тоже перпендикулярное вектору 1. Но движение с постоянной по модулю скоростью и ускорением, перпендикулярным этой скорости, есть равномерное движение по окружности.

Таким образом, на равномерное движение вдоль линии индукции накладывается движение по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору . А это значит, что частица движется по винтовой линии с шагом h = υ2τ, где τ — время одного оборота α-частицы по окружности, радиус которой, согласно формуле (4.10.2), равен:

Так как

Задача 4

Незаряженный металлический брусок представляет собой прямоугольный параллелепипед с ребрами а, Ь, с (а >> с; b >> с). Брусок движется в магнитном поле в направлении, параллельном ребру а, со скоростью . Индукция магнитного поля перпендикулярна основанию бруска со сторонами а и с (рис. 4.57). Определите напряженность электрического поля в бруске и плотность электрических зарядов на боковых гранях параллелепипеда, образованных ребрами c и b.

Рис. 4.57

Решение. Сила Лоренца действует на свободные электроны, так как они движутся вместе с бруском в магнитном поле. Эта сила () направлена, как показано на рисунке 4.58. Электроны относительно решетки смещаются, и одна грань параллелепипеда заряжается отрицательно, а другая — положительно. В бруске возникает электрическое поле. Когда кулоновская сила уравновесится силой Лоренца (еЕ = Beυ), то перемещение электронов относительно решетки прекратится. Искомая напряженность Е = Bυ.

Рис. 4.58

Плотность зарядов σ находим из соотношения E = . Следовательно,

Задача 5

Используя формулу покажите, что циркуляция вектора магнитной индукции вдоль контура, охватывающего проводник с током, равна произведению магнитной постоянной μ0 на силу тока I в проводнике.

Циркуляцией вектора магнитной индукции вдоль замкнутого контура называется сумма

где Δi — элемент контура, а i — вектор магнитной индукции в соответствующей точке контура (рис. 4.59).

Рис. 4.59

Решение. Выберем замкнутый контур в виде окружности радиусом d, через центр которой проходит перпендикулярно плоскости окружности данный проводник. Тогда индукция во всех точках контура одинакова по модулю и направлена по касательной к окружности. Это ясно из соображений симметрии и вытекает из закона Био—Савара—Лапласа. Поэтому скалярные произведения i • Δi равны BΔli и

Учитывая, что

окончательно получим:

Можно доказать, что в самом общем случае циркуляция вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру равна магнитной постоянной μ0, умноженной на алгебраическую сумму сил токов, охватываемых этим контуром:

Эта формула является математическим выражением теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.

Знак силы тока In определяется по ранее установленным правилам (см. гл. 2). Положительное направление тока связывают с направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика).

Каждый ток считается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Для системы токов, изображенных на рисунке 4.60,

Рис. 4.60

Задача 6

Вычислите индукцию магнитного поля: а) внутри кольцевой катушки с током; б) внутри цилиндрической катушки.

Решение, а) На рисунке 4.61 изображена кольцевая катушка (тороид), имеющая w витков, которые распределены равномерно.

Рис. 4.61

Проведем контур в виде окружности радиусом R, совпадающей со средней линией магнитной индукции катушки (R2 < R < R1). Запишем для этого контура теорему о циркуляции вектора магнитной индукции:

при этом

где I — сила тока в катушке.

Тогда

откуда

б) На рисунке 4.62 изображена цилиндрическая катушка (соленоид), длина L которой во много раз больше диаметра D его витков. Такой соленоид можно практически считать бесконечно длинным. Магнитное поле такого соленоида целиком сосредоточено внутри него. Вне соленоида = 0. Внутри соленоида поле однородно и линии индукции параллельны его оси.

Рис. 4.62

Для вычисления магнитной индукции внутри соленоида выделим на оси участок длиной I, на котором расположено w витков, и проведем контур 1—2—3—4—1 (см. рис. 4.62).

Применяя теорему о циркуляции к этому контуру, получим:

На участках 1—2 и 3—4 элементы контура перпендикулярны линиям индукции, поэтому первое и третье слагаемые равны нулю. На участке 4—1 = 0, следовательно, и четвертое слагаемое тоже равно нулю. Остается второе слагаемое

Следовательно,

Отсюда

Формула (4.11.10) справедлива для достаточно длинного соленоида (D << L) вдали от его краев. При приближении к концам соленоида линии индукции начинают расходиться и значение модуля вектора В уменьшается.

Упражнение 8

1. Проволочное кольцо с током находится в однородном магнитном поле, индукция которого В = 0,01 Тл. Сила тока в кольце I = 0,5 А. Радиус кольца R = 2 см. Какой максимальный момент сил может действовать на кольцо со стороны магнитного поля?

2. По контуру в виде окружности радиусом R течет ток. Определите индукцию магнитного поля в центре этой окружности, если сила тока равна I.

3. По бесконечно длинному проводнику ABC, изогнутому под прямым углом (рис. 4.63), течет ток I. Во сколько раз изменится индукция магнитного поля в точке М, если в точке В присоединить бесконечно длинный прямой провод BD так, чтобы ток I разветвлялся в точке В на две равные части, а ток в проводнике АВ оставался прежним?

Рис. 4.63

4. По проводнику, расположенному в одной плоскости (рис. 4.64), течет ток. Найдите индукцию магнитного поля в произвольной точке линии АВ, являющейся осью симметрии проводника.

Рис. 4.64

5. Шины постоянного тока расположены на расстоянии α = 200 мм друг от друга. Определите индукцию магнитного поля в точках, находящихся на середине paccтoяния мeжду шинами, если сила тока в них по модулю одинакова и равна I = 500 А. Рассмотрите случаи, когда токи: а) сонаправлены; б) противоположно направлены.

6. Медный проводник кругового сечения диаметром D = 2 мм свободно лежит на двух опорах (рис. 4.65), служащих одновременно контактными поверхностями, через которые он включен в цепь источника тока с ЭДС E = 12 В. Сопротивление цепи (включая и проводник) R = 0,24 Ом. Какой ток I следует пропустить через другой проводник, расположенный параллельно над первым в одной вертикальной с ним плоскости для того, чтобы первый проводник приподнялся? Расстояние между проводниками d = 20 мм. Плотность меди ρ = 8900 кг/м3.

Рис. 4.65

7. Под длинной горизонтальной шиной на двух одинаковых пружинах (жесткость каждой равна k) подвешен провод длиной l. Когда в шине и проводе токи отсутствуют, расстояние между ними равно h. Найдите расстояние между шиной и проводом, если по шине течет ток I, а по проводу — i. Провод не может выйти из вертикальной плоскости.

8. В однородном магнитном поле на тонких вертикальных проволочках одинаковой длины горизонтально подвешен прямолинейный проводник массой m = 10 г и длиной l = 30 см. Индукция поля В = 0,25 Тл и направлена вертикально. Сила тока в проводнике I = 2 А. На какой угол α от вертикали отклоняются проволочки, поддерживающие проводник? Массами проволочек пренебречь.

9. Квадратная рамка с током помещена в однородное магнитное поле, индукция которого направлена вертикально. Рамка может вращаться вокруг горизонтальной стороны. Когда сила тока в рамке I = 5 А, рамка отклоняется от вертикальной плоскости на угол α = 30°. Площадь сечения проволоки рамки S = 4 мм2, а плотность материала провода ρ = 8,6 • 103 кг/м3. Определите индукцию магнитного поля.

10. Определите силу, с которой действует бесконечно длинный прямой провод на прямоугольный контур, расположенный в плоскости провода (рис. 4.66). Сила тока в проводе I, а в контуре — I1. Стороны контура AD и ВС имеют длину а и расположены параллельно проводу. Расстояние от AD до провода равно х. Длина сторон АВ = DC = h. Направления токов указаны на рисунке стрелками.

Рис. 4.66

11. Прямоугольный контур ABCD, стороны которого имеют длину а и b, находится в однородном магнитном поле с индукцией и может вращаться вокруг оси 00' (рис. 4.67). По контуру течет ток I. Определите работу, совершенную магнитным полем при повороте контура на 180°, если вначале плоскость контура была перпендикулярна вектору индукции магнитного поля (см. рис 4.67).

Рис. 4.67

12. Проволочное кольцо радиусом R находится в неоднородном магнитном поле, линии индукции которого в точках пересечения с кольцом образуют угол α = 10° с нормалью к плоскости кольца (рис. 4.68). Индукция магнитного поля, действующего на кольцо, равна В. По кольцу течет ток I. С какой силой магнитное поле действует на кольцо?

Рис. 4.68

13. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии l друг от друга. Перпендикулярно рельсам лежит стержень, масса которого m. По стержню течет ток I. Коэффициент трения стержня о рельсы μ. При каком минимальном значении индукции магнитного поля стержень начнет двигаться? Какой угол а с вертикалью будет составлять при этом вектор ?

14. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью υ0 = 2 • 107 м/с. Длина конденсатора l = 10 см, напряженность электрического поля конденсатора Е = 200 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны силовым линиям электрического поля. Индукция магнитного поля В = 2 • 10-2 Тл. Найдите радиус винтовой траектории электрона в магнитном поле.

15. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 4 мТл перпендикулярно линиям индукции. Найдите частоту п обращения электрона. Удельный заряд электрона равен =1,76 • 1011 Кл/кг.

16. В пространстве, где существуют одновременно однородные и постоянные электрическое и магнитное поля, по прямолинейной траектории со скоростью движется протон. Известно, что напряженность электрического поля равна . Какова индукция магнитного поля?

17. По металлической ленте шириной MN = а течет ток I. Лента помещена в магнитное поле, индукция которого равна В и перпендикулярна ленте (рис. 4.69). Определите разность потенциалов между точками М и N ленты. Площадь поперечного сечения ленты S, а концентрация свободных электронов в ней n.

Рис. 4.69

18. Сила тока в проволочном кольце радиусом R, подвешенном на двух гибких проводниках, равна I. Линии индукции горизонтальны. С какой силой растянуто кольцо, если модуль магнитной индукции равен В?

19. В центре длинного соленоида находится короткая катушка, состоящая из ω1 витков и имеющая площадь поперечного сечения S. Ось этой катушки перпендикулярна оси длинного соленоида и направлена вертикально. Внутренняя катушка укреплена на одном конце коромысла весов, которые в отсутствие тока находятся в равновесии. Когда через обе катушки пропускают один и тот же ток I, то для уравновешивания весов на правое плечо коромысла (рис. 4.70) приходится добавить груз массой m. Длина правого плеча коромысла L. Определите силу тока, если соленоид имеет длину l и состоит из ω2 витков.

Рис. 4.70

20. Определите индукцию В магнитного поля в произвольной точке внутри длинного толстого прямого проводника (радиус окружности сечения R). По проводнику течет ток плотностью j.

21. Определите индукцию магнитного поля в произвольной точке внутри длинной цилиндрической полости, вырезанной параллельно оси проводника (рис. 4.71). По проводнику течет ток плотностью j. Расстояние между осями проводника и полости равно d.

Рис. 4.71

22. По бесконечной прямолинейной тонкостенной трубе течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в произвольной точке внутри трубы.

Рейтинг@Mail.ru