Физика
Учебник для 10-11 классов

       

§ 3.3. Почему справедлив закон Ома?

  • Рассмотренная модель металла позволяет объяснить основные, известные нам из опыта, закономерности прохождения тока в металлах. Исходя из этой модели, можно теоретически получить закон Ома для участка цепи.

Сила сопротивления движению заряженных частиц

При постоянной силе тока средняя скорость упорядоченного движения свободных электронов, согласно выражению (2.2.7), постоянна: υ = const. Но при этом на электроны действует со стороны поля постоянная сила = е.

Движение без ускорения под действием постоянной силы возможно лишь при наличии силы сопротивления со стороны среды, в которой движется заряженная частица (электрон). Эта сила зависит от скорости частицы и при скорости, равной нулю, должна быть тоже равна нулю. Иначе слабое поле не могло бы вызвать упорядоченное перемещение частиц.

Если электрическое поле перестает действовать на заряженные частицы, ток быстро прекращается. Это означает прекращение упорядоченного движения частиц из-за сопротивления среды. Время, за которое практически прекращается упорядоченное движение, называется временем релаксации. Это то время, за которое заряженные частицы полностью «забывают» свое начальное состояние упорядоченного движения.

При малых скоростях движения свободных электронов (а эти скорости, как мы знаем, действительно малы) силу сопротивления можно считать прямо пропорциональной скорости:

Коэффициент k считаем не зависящим от скорости. Это первое основное допущение, которое мы делаем при обосновании эмпирического закона Ома. Независимость k от υ фактически означает независимость k от электрического поля в проводнике.

Уравнение движения для модулей векторных величин (второй закон Ньютона), определяющее скорость упорядоченного движения частиц, имеет вид:

где F = еЕ — постоянная сила, действующая со стороны поля на электрон.

В частности, если в момент времени t = 0 сила F оказалась равной нулю, а скорость упорядоченного движения в этот момент υ(0) = υ0, то уравнение движения свободных электронов упрощается:

Из уравнения (3.3.3) видно, что быстрота убывания скорости от υ0 до 0 прямо пропорциональна отношению . Величина, обратная , имеет размерность времени. Введя величину

вместо уравнения (3.3.3) получим уравнение

Именно величина τ определяет время уменьшения скорости упорядоченного движения до нуля. При данной начальной скорости упорядоченного движения это время ни от чего больше зависеть не может. Чем больше τ, тем медленнее происходит убывание скорости. Это и понятно: большим τ соответствует большая масса частиц и малый коэффициент сопротивления. Поэтому можно предположить, что τ определяет время релаксации. Действительно, уравнение (3.3.3) при переходе к пределу при Δt ⇒ 0 оказывается дифференциальным уравнением первого порядка:

Решение его выражается через экспоненциальную функцию:

где е = 2,17 — основание натуральных логарифмов, a υ0 — начальная скорость (υ = υ0 при t = 0). То, что именно эта функция является решением дифференциального уравнения, можно проверить подстановкой ее в исходное дифференциальное уравнение. Для этого нужно только уметь вычислять производную экспоненциальной функции.

Из решения уравнения видно, что τ — это время, за которое скорость упорядоченного движения уменьшается в е раз. Таким образом, за время τ упорядоченное движение не исчезает совсем, но резко замедляется.

Вывод закона Ома

При установившемся движении = 0, и из уравнения (3.3.2) мы можем найти скорость упорядоченного движения электронов.

Подставив в уравнение (3.3,2) значение k из соотношения (3.3.4), будем иметь

или

Согласно определению (2.2.1) и с учетом выражения (3.3.5) для плотности тока в металлическом проводнике получим:

Сравнивая выражения (3.3.6) и (2.4.10), видим, что удельная проводимость равна:

Сделаем второе предположение: концентрация заряженных частиц (электронов) п, как и время τ, не зависит от напряженности поля. Тогда удельная проводимость будет постоянной величиной, не зависящей от поля. Это и означает выполнение закона Ома (2.4.10) в дифференциальной форме. Отсюда, разумеется, следует закон Ома в форме (2.4.2) или (2.4.3).

Все значение закона Ома тем и определяется, что для многих веществ в широких интервалах приложенного к проводнику напряжения удельная проводимость γ остается неизменной. Из-за этого закон Ома, не являясь фундаментальным законом природы, чрезвычайно важен.

Чем определяется время релаксации?

Кроме универсальных постоянных (заряда е и массы т носителей тока), удельная проводимость γ, как видно из выражения (3.3.7), зависит от концентрации частиц n и времени релаксации τ. Смысл n очевиден. Главная проблема в выяснении природы времени релаксации и в его вычислении.

Простые оценки дают аномально большое время релаксации. При известных значениях γ и n это время, согласно формуле (3.3.7), имеет порядок 3 • 10-14 с. За такое время электрон проходит расстояние 3 • 10-7 см, т. е. около десяти периодов решетки. Именно поэтому проводимость металлов велика.

Данный факт представляется весьма странным. Ведь в металле ионы в решетке расположены близко друг к другу. Как же электрон этого «не замечает»? Объяснение оказывается возможным только на основе квантовой механики. Квантовая теория позволяет рассчитать значение τ и тем самым удельную проводимость γ и выяснить характер ее зависимости от температуры.

Границы применимости закона Ома

Линейная зависимость плотности тока j от напряженности электрического поля, т. е. закон Ома, нарушается в том случае, когда время релаксации τ или концентрация свободных носителей заряда n начинает зависеть от Е. Тогда γ = будет зависеть от Е.

Нелинейная зависимость силы тока от напряжения чрезвычайно важна для многих устройств. Без нее невозможна современная радиотехника и электроника. Например, такие существенные для радиосвязи процессы, как модуляция и детектирование, не могут быть осуществлены цепями с линейной зависимостью силы тока от напряжения.

Время релаксации имеет порядок времени свободного пробега заряженных частиц. Это время определяется скоростью движения частиц и расстоянием, на котором частица приобретает скорость упорядоченного движения и. Время релаксации не будет зависеть от напряженности Е, если скорость упорядоченного движения, приобретаемая под действием поля, много меньше скорости теплового движения электронов. Тогда при определении τ можно пренебречь скоростью упорядоченного движения по сравнению со скоростью теплового движения.

Согласно молекулярно-кинетической теории скорость теплового движения υт определяется величиной

где k = 1,38 • 10-23 Дж/К — постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура. Для электрона при комнатной температуре (Т = 300 К) эта скорость имеет порядок 105 м/с.

Под влиянием постоянной силы F = еЕ электрон приобретает скорость упорядоченного движения υ = . Отступления от закона Ома должны наступать при υ ≥ υт или Е ≥ . Оценим это значение Е для металлов и слабо ионизованных газов.

Для металлических проводников, как мы уже отмечали, τ = 3 • 10-14 с. Отсюда при υт = 105 м/с получим: Е = 2 • 107 В/м.

На самом деле напряженность поля должна быть на порядок больше. Дело в том, что классическая молекулярно-кинетическая теория не дает правильной оценки скорости теплового движения. Квантовая оценка приводит к значению υт = 106 м/с и, соответственно, Е = 108 В/м.

Создать такую напряженность поля в металле нельзя. Максимально допустимая плотность тока в меди, при которой не происходит разрушения проводника, j = 107 А/м2. При этом

Если же напряженность поля будет порядка 108 В/м, то проводник просто испарится. Отсюда следует, что закон Ома для металлических проводников выполняется при любых напряжениях. Закон Ома в металлических проводниках выполняется при всех значениях напряженности еще и потому, что концентрация свободных электронов в металлах не зависит ни от модуля вектора напряженности поля, ни от его направления.

Отступления от закона Ома могут иметь место при прохождении тока через растворы и расплавы электролитов. Закон Ома не выполняется при прохождении тока через ионизованный газ, в вакууме, а также при наличии в цепи контактов полупроводников с металлами и различных типов полупроводников друг с другом. Здесь сила тока, в частности, зависит от направления напряженности поля.

Под действием электрического поля электроны, движутся с постпоянной средней скоростью из-за торможения со стороны кристаллической решетки. Скорость упорядоченного движения прямо пропорциональна напряженности поля в проводнике.

Рейтинг@Mail.ru