Учебник для 10-11 классов

ФИЗИКА

§ 2.8. Электрические цепи. Последовательное и параллельное соединения проводников

• Энергия передается от источника тока к потребителям (лампам, электродвигателям, радиоприемникам и т. д.) по проводам. Источник тока, потребители энергии (их может быть, как правило, несколько), соединительные провода и выключатели для включения или выключения потребителей энергии образуют электрическую цепь. Часто в электрическую цепь включают приборы, контролирующие силу тока и напряжение на различных участках цепи, — амперметры и вольтметры. Все элементы электрической цепи определенным образом соединяют между собой. На практике проводники чаще всего соединяют последовательно или параллельно.

Разветвление токов

Очень часто в электрических цепях в одной точке сходятся несколько (больше двух) проводников. Например, при включении вольтметра для измерения напряжения на зажимах лампы (рис. 2.18) в точках 1 и 2 сходятся по три проводника. Такие точки называются точками разветвления или узлами.

Рис. 2.18

На рисунке 2.19 в точке разветвления А сходятся пять проводников. Обозначим силу тока в них I₁, I₂, I₃, I₄ и I₅. Из рисунка видно, что токи I₁, I₂, I₃ направлены к узлу и за произвольный промежуток времени At приносят в этот узел суммарный заряд (I₁ + I₂ + I₃) Δt.

Рис. 2.19

Токи I₄ и I₅ направлены от узла и уносят за это же время заряд (I₄ + I₅) Δt. Полное изменение заряда в узле за промежуток времени Δt равно:

В цепи постоянного тока потенциалы всех точек цепи, а значит, и узлов, должны оставаться неизменными. Следовательно, в этих узлах не могут накапливаться электрические заряды ни положительного, ни отрицательного знака. В частности, для узла А изменение заряда Δq должно равняться нулю для любого интервала времени, т. е.

Рассматривая силу тока как алгебраическую величину, имеющую знак «плюс», если ток подходит к узлу, и знак «минус», если ток направлен от узла, последнее равенство можно записать так:

Если в узле сходятся N токов, то

Это равенство называется первым правилом Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в проводниках, сходящихся в узле, равна нулю.

Последовательное соединение проводников

Последовательным соединением проводников называется такое их соединение, при котором конец первого проводника соединяется с началом второго, конец второго — с началом третьего и т. д. На рисунке 2.20 показано последовательное соединение трех проводников, имеющих сопротивления R₁, R₂, R₃.

Рис. 2.20

При последовательном соединении проводников выполняется ряд простых соотношений.

1. Сила тока во всех последовательно соединенных проводниках одинакова:

2. Напряжение (или разность потенциалов) на концах рассматриваемого участка цепи равно сумме напряжений на отдельных проводниках:

Действительно: U₁ = φ₀ - φ₁; U₂ = φ₁ - φ₂; U₃ = φ₂ - φ₃. Складывая U₁, U₂ и U₃ получим φ₀ - φ₃ = U.

В справедливости равенства (2.8.4) можно убедиться и непосредственным измерением при помощи вольтметра напряжений на всем участке цепи и на отдельных проводниках.

3. Согласно закону Ома напряжения на отдельных проводниках равны:

Отсюда следует, что

или

При последовательном соединении напряжения на проводниках пропорциональны их сопротивлениям.

4. Разделив равенство (2.8.4) почленно на силу тока I, получим:

или

где R — сопротивление всего рассматриваемого участка цепи. Таким образом, сопротивление участка цепи, состоящего из нескольких последовательно соединенных проводников (общее сопротивление), равно сумме сопротивлений отдельных проводников.

5. Умножив теперь все члены равенства (2.8.4) на силу тока I, получим:

или

Мощность тока на всем участке цепи равна сумме мощностей тока на отдельных последовательно соединенных проводниках.

Все изложенные выше выводы справедливы не только для трех, но и для любого числа последовательно соединенных проводников.

Параллельное соединение проводников

Параллельным соединением проводников называется такое их соединение, когда одни концы всех проводников соединяются в один узел (A), а другие концы — в другой (В) (рис. 2.21). При параллельном соединении различают ветви — отдельные проводники между узлами, разветвление — часть цепи между двумя узлами, неразветвленную часть цепи, лежащую вне разветвления.

Рис. 2.21

При параллельном соединении выполняются следующие соотношения:

1. Напряжения на всех ветвях и на разветвлении одинаковы, так как все они равны разности потенциалов точек А и В:

2. По первому правилу Кирхгофа

Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в ветвях.

3. По закону Ома

Отсюда следует, что

Силы токов в ветвях обратно пропорциональны сопротивлениям этих ветвей.

4. Сопротивлением разветвления R называют сопротивление такого проводника, которым можно заменить разветвление без изменения силы тока в неразветвленной части цепи и напряжения между узлами.

Заменив в равенстве (2.8.9) значения сил токов, согласно закону Ома, получим:

Разделив обе части равенства на U, будем иметь:

Величина, обратная сопротивлению разветвления, равна сумме величин, обратных сопротивлениям отдельных ветвей.

Если учесть, что величина, обратная сопротивлению, представляет собой проводимость проводника, то равенство (2.8.11) можно записать так:

Проводимость разветвления равна сумме проводимостей ветвей.

Заметим, что сопротивление разветвления меньше наименьшего из сопротивлений его ветвей. В самом деле, пусть сопротивление i-й ветви является наименьшим, тогда из равенства

следует, (сумма больше каждого из отдельных слагаемых). Отсюда R < R_i.

Если разветвление состоит из двух ветвей, то

то

Отсюда

Сопротивление двух параллельно соединенных проводников равно произведению сопротивлений этих проводников, деленному на их сумму.

Если сопротивления отдельных ветвей равны между собой:

то

Отсюда

Общее сопротивление п одинаковых параллельно соединенных проводников равно сопротивлению одного проводника, деленному на их число.

5. Умножив обе части равенства (2.8.9) на напрязкение U на разветвлении, получим:

или

Мощность тока в разветвлении равна сумме мощностей тока в отдельных ветвях.

Смешанное соединение проводников

На рисунке 2.22 в качестве примера приведена схема смешанного соединения проводников. В цепи имеются два последовательно соединенных участка: участок АВ, состоящий из одного резистора R1, и участок ВС, состоящий из двух параллельных ветвей.

Так как одна параллельная ветвь имеет сопротивление R₂ + R₃ (ветвь содержит два последовательно соединенных резистора R2 и R3), а вторая - R₄ то сопротивление участка ВС

а общее сопротивление всех участков цепи