Физика
Учебник для 10-11 классов

       

§ 1.27. Энергия заряженных конденсаторов и проводников. Применения конденсаторов

  • Для того чтобы зарядить конденсатор, нужно совер-ш-ить работу по разделению положит,ельных и отрицательных зарядов. Согласно закону сохранения энергии эта работа равна энергии, приобретаемой конденсатором.
  • В том, что заряженный конденсатор, как и любая другая система заряженных тел, обладает энергией, можно убедиться, если к пластинам заряженного конденса-тора большой емкости подключить лампочку карманного фонарика. На короткое время она вспыхнет.

Энергия плоского конденсатора

Выведем формулу для энергии плоского конденсатора. Напряженность поля, созданного зарядом одной из пластин, равна E/2, где Е — напряженность поля в конденсаторе (см. § 1.25).

В однородном поле одной пластины находится заряд q, распределенный по поверхности другой пластины (рис. 1.105). Согласно формуле (1.18.4) для потенциальной энергии заряда в однородном поле энергия конденсатора равна:

где q — заряд конденсатора, a d — расстояние между пластинами*.

Рис. 1.105

Так как Ed = U, где U — разность потенциалов между обкладками конденсатора, то его энергия равна:

Эта энергия равна работе, которую совершит электрическое поле при сближении пластин вплотную.

Заменив в формуле (1.27.2) либо разность потенциалов, либо заряд с помощью выражения (1.25.1) для емкости конденсатора, получим:

Энергия произвольного конденсатора

Формулы (1.27.3) справедливы для энергии любого конденсатора, а не только плоского. Докажем это, используя более общий метод вычисления энергии.

Зарядку конденсатора в принципе можно осуществить так. Будем постепенно малыми порциями -Δq переносить отрицательный заряд с одной пластины на другую. При этом конденсатор будет заряжаться, а электрическое поле внутри него со-вершать работу. Если порция заряда -Δq мала, то можно считать, что напряжение U = φ1 - φ2 между его пластинами во время переноса заряда не меняется. Тогда работа ΔA, согласно формуле (1.19.8), равна:

Так как , то

Изменение энергии конденсатора в соответствии с формулой (1.17.1) равно:

Поле совершает отрицательную работу (ΔА < 0), а потенциальная энергия растет (ΔWp > 0).

На графике зависимости от q (рис. 1.106) приращение энергии ΔWp численно равно площади прямоугольника abcd со сторонами и Δq. Полное изменение энергии (Wp) при возрастании заряда от нуля до q численно равно площади треугольника OBD, т. е. .

Следовательно,

Рис. 1.106

Это выражение совпадает с формулой (1.27.3) для энергии плоского конденсатора, выраженной через заряд и емкость. При данном выводе было совершенно несущественно, что конденсатор — плоский.

Энергия заряженного проводника

Любой заряженный проводник, подобно заряженному конденсатору, обладает энергией**.

Будем заряжать проводник, перемещая к нему из бесконечности электрический заряд малыми порциями Δq. Все дальнейшие рассуждения подобны использованным выше для вычисления энергии конденсатора.

При перемещении заряда Δq электрическое поле проводника совершает работу

где φ — потенциал проводника, имеющего заряд q. Потенциал на бесконечности считаем равным нулю (φ = 0). Тогда

где С — емкость проводника. В результате энергия заряженного проводника

В отличие от формул (1.27.3) здесь φ — потенциал проводника (вместо напряжения U), а С — емкость уединенного тела, а не конденсатора.

Энергия электрического поля

Согласно теории близкодействия вся энергия заряженных тел сконцентрирована в электрическом поле этих тел. Значит, энергия может быть выражена через основную характеристику поля — напряженность.

Выразим энергию в СИ через напряженность поля для частного случая плоского конденсатора. Подставим в формулу для энергии конденсатора значение емкости плоского конденсатора в СИ [см. формулу (1.25.3)] и выразим разность потенциалов в этой формуле через напряженность поля: U = Ed. Тогда энергия конденсатора будет равна:

Разделив выражение (1.27.10) на объем Sd, занятый полем, получим энергию, приходящуюся на единичный объем, т. е. плотность энергии:

В абсолютной системе единиц емкость плоского конденсатора определяется формулой (1.25.4). Поэтому плотность энергии

Самым замечательным в выражении для плотности энергии является то, что в нем не осталось никаких следов того частного примера (плоский конденсатор), который мы рассматривали. Как всегда в физике, это означает, что выражения (1.27.11) и (1.27.12) справедливы не только для однородного поля плоского конденсатора, но и в любом другом случае. Более >ого, полученные выражения для плотности энергии оказываются справедливыми и для электрических полей, меняющихся со временем.

Применения конденсаторов

Энергия конденсатора обычно не очень велика — не более сотен джоулей. К тому же она не сохраняется долго из-за неизбежной утечки заряда. Поэтому заряженные конденсаторы не могут заменить, например, аккумуляторы в качестве источников электрической энергии.

Но это совсем не означает, что конденсаторы как накопители энергии не получили практического применения. Они имеют одно важное свойство. Конденсатор может накапливать энергию более или менее длительное время, а при разрядке его через цепь малого сопротивления он отдает энергию почти мгновенно. Вот это свойство и используют широко на практике.

Лампа-вспышка, например, применяемая в фотографии, питается электрическим током разрядки конденсатора, заряжаемого предварительно специальной батареей. Возбуждение квантовых источников света — лазеров осуществляется с помощью газоразрядной трубки, вспышка которой происходит при разрядке батареи конденсаторов большой емкости.

Однако основное применение конденсаторы находят в радиотехнике. Конденсаторы используются в различных электрических цепях для получения определенного изменения напряжения за счет изменения заряда. Причем конденсаторы большой емкости способны накапливать или отдавать большой заряд без значительного изменения напряжения.

Энергия конденсатора пропорциональна его электрической емкости и квадрату напряжения между пластинами. Вся эта энергия сосредоточена в электрическом поле. Плотность энергии поля пропорциональна квадрату напряженности поля.

Вопросы для самопроверки

  1. При последовательном соединении конденсаторов емкость батареи меньше емкости отдельных конденсаторов. Существуют ли другие причины, кроме уменьшения емкости, заставляющие прибегать к последовательному соединению конденсаторов?
  2. Некоторые типы бумажных конденсаторов состоят из нескольких полосок алюминиевой фольги, переложенных парафинированной бумагой. Один из выводов такого конденсатора присоединен ко всем четным полоскам фольги, другой — ко всем нечетным. В целом устройство можно рассматривать как батарею соединенных конденсаторов. Последовательным или параллельным является такое соединение?
  3. Два конденсатора разной емкости соединены параллельно. Какой из них обладает большей энергией?
  4. Почему энергия заряда в поле равна qφ, а энергия заряженного проводника равна ?
  5. Два точечных заряда создает в малой области пространства поля с напряженностями 1 и 2. Равна ли энергия поля в этой области сумме энергий полей первого и второго зарядов?

* Формула (1.18.4) справедлива для энергии точечного заряда в однородном поле. Но заряд на пластине можно мысленно разделить на малые элементы Δq. Энергия каждого элемента равна: . Суммируя эти энергии, получим формулу (1.27.1).

** Конечно, энергией обладает и заряженный диэлектрик, но вычислить его энергию сложно. Для проводника это сделать нетрудно, так как все его точки имеют одинаковый потенциал.

Рейтинг@Mail.ru