Физика
Учебник для 10-11 классов

       

§ 1.23. Примеры решения задач

В этом параграфе рассматриваются задачи с использованием понятий потенциальной энергии, потенциала и разности потенциалов.

Работа сил, действующих на заряд со стороны электростатического поля, выражается через разность потенциальных энергий или разность потенциалов [см. формулы (1.17.1) и (1.19.6)]. Потенциал точечного заряда определяется формулой (1.19.4), а потенциал однородного поля формулой (1.19.2).

Кроме того, надо знать выражение (1.18.8) для энергии взаимодействия точечных зарядов и связь между напряженностью электрического поля и разностью потенциалов [формула (1.20.4)].

При решении задач на движение заряженных частиц в электрическом поле можно использовать законы сохранения энергии и импульса, а также законы механики Ньютона.

Задача 1

На расстоянии d от точечного заряда q расположен центр незацяженного проводящего шара радиусом R. Чему равен потенциал шара?

Решение. Потенциал всех точек шара одинаков, поэтому достаточно найти потенциал одной точки. Проще всего найти потенциал центра шара. Он равен сумме потенциала, созданного в центре шара точечным зарядом и потенциала, созданного зарядами, возникающими на поверхности шара вследствие электростатической индукции. Но этот потенциал равен нулю, так как суммарный заряд на сфере равен нулю, и все элементы заряда находятся на равном расстоянии от центра. Следовательно, потенциал шара

Задача 2

Три заряженных одинаковых шарика, заряд каждого из которых равен q, а масса — m, расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Каких максимальных скоростей достигнут шарики, отталкиваясь друг от друга, если их отпустить?

Решение. В начальном состоянии шарики обладают потенциальной энергией:

Разлетаясь, шарики вследствие симметрии будут иметь одинаковые по модулю скорости. Эти скорости максимальны на бесконечности, где

Согласно закону сохранения энергии

Отсюда

Задача 3

Почему на проводниках, имеющих форму острия, поверхностная плотность заряда достигает значительных величин?

Решение. На рисунке 1.93, а изображен проводник, имеющий форму острия. Моделью острия может служить (в первом приближении) система двух шаров различных радиусов, соединенных тонкой проволокой (рис. 1.93, б).

Рис. 1.93

Радиус левого шара R значительно больше радиуса правого шapa r (R >> r). Пренебрегая влиянием шаров друг на друга, их потенциалы можно записать в виде:

Так как шары соединены проводником, то φ1 = φ2 = φ. Следовательно,

Поверхностные плотности заряда шаров соответственно равны:

Так как R >> r, то σ2 >> σ1, т. е. поверхностная плотность заряда на малом шаре, кривизна которого велика (на острие), значительно больше поверхностной плотности заряда на большом шаре, кривизна которого мала.

Задача 4

Небольшой шарик соединяют проводом с заземленным электрометром (см. рис. 1.87). Касаясь шариком различных точек проводника, ограниченного цилиндрической и коническими поверхностями, наблюдают одинаковое отклонение стрелки электрометра при любом положении шарика. Затем соединительный провод убирают и наблюдают, что отклонение стрелки электрометра, к стержню которого подносят шa-рик, неодинаково и зависит от того, какой точки поверхности проводника (внутренней или внешней) предварительно коснулись шариком. Почему?

Рис. 1.87

Решение. Электрометр измеряет разность потенциалов между данным телом и землей. Так как поверхность проводника эквипотенциальна, то в первом случае стрелка отклоняется на один и тот же угол при любом положении шарика.

Во втором случае отклонение стрелки определяется потенциалом шарика относительно земли в тот момент, когда его приводят в соприкосновение с электрометром. Этот потенциал зависит от заряда шарика, его размеров и расположения окружающих предметов. В момент соприкосновения шарика с проводником его потенциал делается равным потенциалу проводника, но его заряд будет зависеть от того, какого участка поверхности касаются. Если касаются внутренней конической поверхности проводника, то заряд шарика равен нулю, так как весь заряд проводника распределен по его внешней поверхности. Если же касаются шариком внешней поверхности проводника, то заряд шарика будет отличен от нуля.

Во время перемещения шарика его потенциал непрерывно меняется, так как меняется положение шарика относительно окружающих предметов. Различные значения потенциала шарика в момент соприкосновения его со стержнем электрометра обусловлены только различием в значениях заряда шарика, так как расположение относительно него окружающих предметов в этот момент неизменно.

Максимальный заряд будет на вершине конической поверхности (острие).

Задача 5

Незаряженный металлический шар радиусом г окружен концентрической проводящей сферой радиусом R. Сфера заряжена до потенциала φ0 (относительно земли). Чему станет равен потенциал внешней сферы, если незаряженный шар заземлить (рис. 1.94)?

Рис. 1.94

Решение. До заземления заряд внешней сферы q создает на ее поверхности потенциал φ0 = . После заземления на внутреннем шаре наведется заряд q1 (см. рис. 1.94), который можно найти из условия, что потенциал заземленного шара равен нулю.

Согласно принципу суперпозиции полей потенциал шара равен:

Отсюда

Потенциал на внешней сфере после заземления шара создается зарядами q и q1:

Задача 6

Положительный заряд +q0 равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиусом R. В центре кольца находится точечный заряд -q, масса которого m. Этому заряду сообщается начальная скорость 0 вдоль оси кольца. Определите характер движения заряда, в зависимости от начальной скорости считая, что он движется вдоль оси кольца. Кольцо неподвижно.

Решение. Полная энергия заряда в начальный момент равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии в электростатическом поле кольца -φ0q, где φ0 = — потенциал в центре кольца:

При W ≥ 0 заряд уйдет на бесконечность. Причем его скорость на бесконечно большом расстоянии будет равна нулю, если W = 0. Если W > 0, скорость заряда на бесконечно большом расстоянии от кольца равна;

Если же W < О, то заряд будет совершать периодическое движение (колебание) вдоль оси кольца. Наибольшее расстояние r, на которое при этом удалится заряд от центра кольца, можно найти из закона сохранения энергии:

Отсюда

Задача 7

Уединенный металлический шар радиусом R = 10 см окружен диэлектриком (ε = 2). Диэлектрик образует сферический слой с радиусами R1 = 10 см и R2 = 20 см. Найдите потенциал шара, если его заряд q = 10-18 Кл.

Решение. Диэлектрик, окружаюш;ий шар, под действием поля шара поляризуется. В результате на внутренней поверхности диэлектрика появляется поляризационный заряд -q', знак которого противоположен знаку заряда шapa q, а на внешней поверхности диэлектрика — поляризационный заряд q', одинаковый по знаку с зарядом q. Следовательно, потенциал шара, согласно принципу суперпозиции, равен сумме потенциалов полей, образуемых зарядами q, -q' и q':

Так как поляризационный заряд (см. задачу 7 в § 1.16) равен:

то

Упражнение 3

1. Точечные заряды q1 = 2 • 10-8 Кл и q2 = 10-8 Кл расположены в керосине (ε = 2,1) на расстоянии г1 = 0,04 м друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r2 = 0,02 м?

2. Поле образовано точечными зарядами q^ = -2 • 10-9 Кл и ^2 = 10-9 Кл, расположенными на расстоянии ВС = 8 см (рис. 1.95). Точка D лежит на перпендикуляре, проведенном к отрезку ВС через его середину М, причем MD = ВС/2. Найдите работу кулоновских сил при перемещении заряда q = 2 • 10-8 Кл из точки D в точку М.

Рис. 1.95

3. Пылинка массой m = 10-11 г находится во взвешенном состоянии в однородном электрическом поле между горизонтально расположенными разноименно заряженными пластинками, расстояние между которыми d = 5 мм. Пылинка освещается ультрафиолетовым светом и вследствие этого теряет заряд. Равновесие пылинки при этом нарушается. Какой заряд потеряла пылинка, если первоначально к пластинкам было приложено напряжение U1 = 154 В, а затем, чтобы восстановить равновесие пылинки, пришлось увеличить напряжение на U2 = 8 В?

4. Два шарика имеют одинаковые электрические заряды q = 20 нКл. Шарики соединяют гонкой проволокой. Какой заряд пройдет по проволоке, если шарики металлические и их радиусы соответственно равны R1 = 15 см и R2 = 5 см? Расстояние между шариками много больше их радиусов.

5. N одинаковых шарообразных капель ртути заряжены одноименно до одного и того же потенциала φ1. Чему равен потенциал φ большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?

6. Два одноименных точечных заряда q1 и q2 с массами m1 и m2 движутся навстречу друг другу. В момент времени, когда расстояние между зарядами равно r1, они имеют скорости 1 и 2. До какого минимального расстояния r2 сблизятся заряды?

7. Два маленьких одноименно заряженных шарика закреплены в вакууме на расстоянии, значительно превышаюш;ем их линейные размеры. Если отпустить первый шарик, то при достижении расстояния г между шариками его скорость равна 1 = 3 м/с; если отпустить второй, то при тех же условиях его скорость оказывается равной 2 = 4: м/с. Найдите скорости шариков, когда они разойдутся на расстояние г, если оба шарика отпустить одновременно.

8. В некоторый момент времени два электрона имели равные по модулю скорости υ1 = υ2 = υ и находились в вакууме на расстоянии L друг от друга. При этом скорости 1 и 2 образовывали равные острые углы α с прямой, соединяющей электроны. На каком минимальном расстоянии пройдут электроны друг относительно друга?

9. Частица массой m, имеющая заряд q и скорость 0, приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца R, заряд Q, масса М. Какую скорость будет иметь частица в момент, когда она будет проходить через центр кольца?

10. Маленький металлический шарик массой m — 1 г, которому сообщен заряд q = 10-7 Кл, брошен издалека со скоростью υ = 1 м/с в направлении металлической сферы, имеюш;ей заряд Q = 3 • 10-7 Кл. При каком минимальном значении радиуса сферы шарик достигнет ее поверхности?

11. В пространстве одновременно действуют два однородных электрических поля с горизонтально и вертикально направленными напряженностями, модули которых равны соответственно Eг = 4 • 102 В/м и Eв = 3 • 102 В/м. По направлению силовой линии результируюш;его электрического поля влетает электрон, скорость которого на пути L = 2,7 мм изменяется в 2 раза. Определите скорость электрона в конце этого пути.

12. Три одинаковых заряда, каждый из которых равен q = -2 • 10-8 Кл, расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 10 см. Какую работу А нужно совершить, чтобы перенести один из них на середину противоположной стороны?

13. Точечные заряды q1 =-1,7 • 10-8 Кл и q2 = 2 • 10-8 Кл находятся от точечного заряда q = 3 • 10-8 Кл на расстоянии l1 = 2 см и l2 = 5 см соответственно. Какую работу А надо совершить, чтобы поменять местами заряды q1 и q2?

14. Три проводящие концентрические сферы имеют радиусы R, 2R, ЗR соответственно. Средняя сфера имеет заряд +q. В ней проделано отверстие, через которое тонкой проволочкой соединяют внешнюю и внутреннюю сферы. Определите заряд q1 внешней сферы после соединения.

15. Две проводяш;ие сферы заряжены так, что внутренняя имеет потенциал φ1, а внешняя φ2. Какой потенциал будет иметь внутренняя сфера, если обе сферы соединить проводником?

16. Металлический шар радиусом R1 = 2 см несет на себе заряд q1 = 4 • 10-8 Кл. Шар окружен концентрической проводящей оболочкой радиусом R1 = 5 см заряд которой равен q2 = -4 • 10-8 Кл. Определите потенциал поля φ на расстоянии L = 4 см от центра шара.

17. Металлический шар радиусом R1 = 1 см несет заряд q1 = 2 • 10-8 Кл. Шар окружен концентрической проводящей оболочкой радиусом R1 = 5 см. На оболочке находится заряд R2 = -4 • 10-8 Кл. Найдите изменение потенциала шара Δφ, если оболочку заземлить.

18. Четыре одинаковых заряженных маленьких шарика, заряды которых q и массы m, расположены в вершинах квадрата со стороной α. Какой максимальной скорости достигнут шарики, если их отпустить?

19. Из бесконечности к металлической пластине движется точечный заряд +q. Определите энергию взаимодействия заряда и пластины, а также скорость заряда в тот момент, когда он будет находиться на расстоянии d от пластины. Находясь на бесконечно большом расстоянии от пластины, заряд имел скорость, равную нулю.

20. Четыре одинаковых точечных заряда q расположены вдоль прямой на расстоянии l друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы поместить их в вершинах правильного тетраэдра с ребром, равным l?

Рейтинг@Mail.ru