Учебник для 10-11 классов

ФИЗИКА

§ 1.11. Теорема Гаусса

• Закон Кулона — основной закон электростатики. Из него следует, основная теорема электростатики — теорема Гаусса.

Поток напряженности электрического поля

Предварительно введем новую физическую величину — поток напряженности электрического пол я. Напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади. Именно для этой величины формулируется теорема Гаусса.

Выделим в поле элемент площадью ΔS. Он должен быть настолько малым, чтобы напряженность электрического поля во всех его точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль к элементу. Направление этой нормали выбирается произвольно (рис. 1.36).

Рис. 1.36

Угол между векторами и обозначим через α. Тогда по определению потоком напряженности электрического поля Е называется произведение площади ΔS поверхности на проекцию напряженности электрического поля на нормаль к элементу:

Поток может быть положительным или отрицательным в зависимости от значения угла α.

Наглядно поток напряженности поля можно интерпретировать как величину, пропорциональную числу силовых линий, пронизывающих этот элемент. Линии, пронизывающие элемент ΔS, пронизывают также элемент ΔS₀, представляющий собой проекцию ΔS на плоскость, перпендикулярную вектору (см. рис. 1.37). Поток напряженности можно записать в форме:

так как S₀ = S cos α.

Рис. 1.37

Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью ΔS₁, вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы (рис. 1.38):

Рис. 1.38

Так же определяется поток через замкнутую поверхность. За положительную нормаль к любому элементу замкнутой поверхности принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная не внутрь поверхности, а наружу.

Теорема Гаусса для точечного заряда

Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и зарядом внутри этой поверхности.

Вначале рассмотрим простой частный случай. Вычислим поток вектора в однородной среде через сферическую поверхность, в центре которой расположен точечный заряд q (рис. 1.39).

Рис. 1.39

Напряженность поля в каждой точке на поверхности сферы одна и та же по модулю, а проекция Е_n равна:

Поток вектора через поверхность сферы равен:

Этот результат, надо ожидать, справедлив и для любой замкнутой поверхности, содержащей заряд q. Ведь любую поверхность S₁ или S₂ (рис. 1.39) пронизывает то же число силовых линий, что и поверхность S. Таким образом, согласно теореме Гаусса, поток напряженности через замкнутую поверхность пропорционален электрическому заряду внутри этой поверхности.

Теперь дадим более строгое доказательство теоремы для одного точечного заряда, охватываемого произвольной замкнутой поверхностью площадью S (рис. 1.40).

Рис. 1.40

Выделим на этой поверхности малый элемент ее ΔS. Поток напряженности через этот элемент равен:

где r — расстояние от элемента ΔS до заряда q, т. е. модуль радиуса-вектора, указывающего положение элемента ΔS относительно заряда q. Согласно (1.11.2),

где ΔSq — проекция площадки ΔS на плоскость, перпендикулярную радиусу-вектору . Так как ΔS очень мала, то ΔSq фактически есть проекция ΔS на поверхность сферы. Следовательно, уравнение (1.11.6) можно переписать так:

Для дальнейшего доказательства необходимо использовать понятие телесного угла.

Рассмотрим сферу радиусом r. Представим себе внутри этой сферы конус, вершина которого находится в центре сферы (рис. 1.41). Этот конус вырежет на сфере некоторую часть поверхности площадью S. Область пространства, ограниченную поверхностью конуса, называют телесным углом. Мерой телесного угла Ω служит отнопхение площади S к квадрату радиуса r сферы:

Рис. 1.41

Нетрудно видеть, что значение телесного угла не зависит от радиуса сферы, так как площадь S вырезаемой им площадки пропорциональна квадрату радиуса. За единицу телесного угла принят стерадиан (ср) — это телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы элемент, площадь которого равна квадрату радиуса сферы. Полный телесный угол, охватывающий все пространство вокруг точки, равен:

Выражение в формуле (1.11.7) есть не что иное, как значение телесного угла ΔΩ, под которым виден элемент поверхности ΔS₀ (или, что то же самое, элемент ΔS) из точки, где расположен заряд q:

Подставляя выражение (1.11.10) в уравнение (1.11.7), получим:

Суммируя подобные выражения для всех элементов ΔS₀ поверхности S, получим полный поток напряженности через замкнутую поверхность:

так как

согласно (1.11.9). Итак, теорему Гаусса можно записать следующим образом:

Если замкнутая поверхность не содержит внутри себя электрического заряда, то поток напряженности через нее равен нулю (рис. 1.42). Силовые линии, идущие от заряда q, либо не пересекают ее совсем, либо же пересекают четное число раз. При этом число линий, выходящих из поверхности, равно числу линий, входящих в нее, и поэтому N = 0. (Выходящие из поверхности линии вносят положительный вклад в поток, а входящие — отрицательный.)

Рис. 1.42

Обобщение теоремы Гаусса

Теорема Гаусса легко обобщается на случай любого числа точечных зарядов. Поток напряженности через поверхность площадью S для каждого заряда определяется формулой (1.11.12). Вследствие принципа суперпозиции полей полный поток равен сумме потоков от всех зарядов. Поэтому, суммируя выражения (1.11.12) для всех зарядов, найдем:

Если алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности равна нулю, то и N = 0.

Теорему Гаусса можно обобщить и для случая, когда заряд распределен в пространстве непрерывно. Это мы рассмотрим в следующем параграфе.

Коэффициент k в формуле (1.11.13) равен единице в абсолютной сиотеме единиц и в СИ. Поэтому теорема Гаусса в СИ не содержит множителя 4π: