Учебник для 11 класса

Физика

       

§ 1.9. Вынужденные колебания

  • Свободные колебания всегда затухают за то или иное время и по этой причине почти никогда не используются на практике. Наиболее важное значение имеют незатухающие колебания, которые могут длиться сколь угодно долго.

Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему действует внешняя периодическая сила. Колебания под действием внепхней периодической силы называются выну веденными. Работа этой силы над системой обеспечивает приток энергии к системе извне, который и не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Под влиянием периодической силы любое тело или система совершает колебания. Но если система сама по себе не способна соверпхать колебания, то ничего интересного в ней под действием периодической силы не произойдет. Вспомните пример с книгой, которую можно двигать рукой по столу слева направо и справа налево.

Если же система способна соверпхать свободные колебания, то действие на нее периодической внепхней силы вызывает весьма интересные и практически важные явления. С ними знакомы все, кому приходилось раскачивать ребенка на качелях.

Качели — это маятник, обладающий определенной собственной частотой. Значительно отклонить качели от положения равновесия трудно. Постоянная во времени сила здесь мало эффективна. Не раскачает качели взрослый человек и в том случае, если он будет их беспорядочно подталкивать в разные стороны. Однако, если начать работать в правильном ритме, подталкивая качели вперед каждый раз, когда они поравняются с нами, можно без больших усилий раскачать их очень сильно. Правда, для этого потребуется некоторое время*.

Раскачать качели до больших амплитуд можно только под действием такой периодической внепхней силы, которая изменяется с частотой, равной частоте свободных колебаний качелей (маятника).

Вот эта возможность резкого увеличения амплитуды колебаний маятника или любой другой системы, способной совершать свободные колебания, при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы и представляет главный интерес.

Наблюдение вынужденных колебаний

Давайте подробнее познакомимся с вынужденными колебаниями системы, обладающей собственной частотой колебаний. Рассмотрим вместо маятника груз, подвешенный на пружине. Но теперь верхний конец пружины будет прикреплен к «колену» изогнутой оси (рис. 1.16). Если вращать ось с помощью рукоятки, то на груз, прикрепленный к пружине, начнет действовать периодическая внешняя сила. Еще лучше вращать ось с помощью электродвигателя. Это обеспечит большую стабильность частоты внешней силы.

Рис. 1.16

Постепенно груз начнет раскачиваться. Амплитуда его колебаний нарастает. Спустя некоторое время колебания приобретут установившийся характер: их амплитуда со временем перестанет изменяться. Присмотревшись внимательно, вы обнаружите, что частота колебаний груза будет в точности равна частоте колебаний точки подвеса пружины, т. е. частоте изменения внешней силы. (Эта частота равна угловой скорости вращения рукоятки.) В этом ничего неожиданного нет. Если толкать груз вверх и вниз, то он в конце концов начнет качаться с той же частотой, с которой вы действуете на него.

Установление колебаний

Но почему с течением времени устанавливается определенная амплитуда колебаний? Проще всего это можно понять, исходя из энергетических соображений. Внешняя сила совершает за период работу А1, которая, конечно, прямо пропорциональна амплитуде колебаний (рис. 1.17, график 1). Ведь работа всегда пропорциональна пройденному пути. За счет этой работы увеличивается энергия колеблющегося тела и, следовательно, размах колебаний.

Одновременно с ростом амплитуды колебаний растут потери механической энергии в системе. Силы трения за период совершают работу А2. При этом от системы отбирается механическая энергия. Работа сил сопротивления также пропорциональна амплитуде, так как с увеличением амплитуды растет пройденный телом путь. Но нужно еще учесть, что сама сила сопротивления, если считать ее прямо пропорциональной скорости (с = -k1), растет пропорционально амплитуде. Ведь чем больше амплитуда колебаний, тем быстрее при заданном периоде движется колеблющееся тело. В результате работа А2 оказывается пропорциональной квадрату амплитуды (рис. 1.17, график 2).

Рис. 1.17

При раскачке колебаний, когда амплитуда еще мала, |А2| < |А1|. Энергия системы увеличивается, и амплитуда колебаний растет. Но работа сил сопротивления увеличивается (по модулю) быстрее, чем работа внешних сил: она ведь пропорциональна не первой степени, а квадрату амплитуды. Поэтому наступит момент, когда работа сил сопротивления сравняется по модулю с работой внешних сил. Тогда механическая энергия системы перестанет нарастать и колебания установятся. В дальнейшем они будут совершаться с постоянной амплитудой (рис. 1.18), а частота колебаний будет равна частоте изменения внешней силы.

Рис. 1.18

Чем меньшее сопротивление испытывает система, тем большую амплитуду будут иметь установившиеся колебания. Работа сил сопротивления пропорциональна коэффициенту сопротивления k1, и равенство |А'2| = |A1l (соответствующее пересечению графиков 1 и 2', см. рис. 1.17) при малом сопротивлении (k'1 < k2), может быть достигнуто при большей амплитуде (ОС > ОВ). Разумеется, при этом требуется и большее время для того, чтобы колебания установились.

Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой ω и амплитудой хm по гармоническому закону:

Внешне вынужденные установившиеся колебания выглядят так же, как и свободные колебания в системе без трения. Но если при свободных колебаниях амплитуда хm и начальная фаза фо определяются начальными условиями, то при вынужденных колебаниях хm и φc определяются (как мы увидим в дальнейшем) параметрами самой системы и внешней силой. Прежде всего играет существенную роль соотношение частот собственных и вынужденных колебаний. Величина φc в случае вынужденных колебаний — это не начальная фаза, а сдвиг фаз между колебаниями координаты и внешней силы. Скорость и ускорение при вынужденных колебаниях определяются такими же уравнениями, как и при свободных колебаниях:

Уравнение движения для вынужденных колебаний

Приступим к репгению основной задачи: выясним, от чего и как зависят амплитуда хm вынужденных колебаний и сдвиг фаз φc. Для этого запишем и исследуем уравнение движения для вынужденных колебаний.

Пусть на колебательную систему (груз на пружине) действует внешняя периодическая сила Fx = Fm cos ωt. Кроме того, на тело действует сила упругости (Fу)х = -kx и сила сопротивления, пропорциональная скорости: (Fc)х = -k1vх, где k1 — коэффициент сопротивления. (При малых скоростях движения тела силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости.) Тогда уравнение движения запишется так:

Перенеся в левую часть уравнения все силы, кроме внешней, получим:

Удобнее записать это уравнение в несколько другом виде, разделив правую и левую его части на то и введя собственную частоту :

Движение тела, подчиняющееся этому уравнению, достаточно сложно, особенно вначале, когда оно не является гармоническим. Мы рассмотрим лишь три предельных случая.

Первый случай: ,т. е. частота внешней периодической силы много меньше частоты собственных колебаний системы.

Второй случай: ω >> ω0; выполняется противоположное условие.

И наконец, самый важный случай: ω = ω0**. Это случай резонанса.

Вынужденные колебания малой частоты

Если ω << ω0, то из трех членов левой части уравнения (1.9.5) самым большим будет последний член х. Действительно, амплитуда первого слагаемого пропорциональна ω2xm, второго — ωxm, а последнего — xm. Поэтому приближенно (учитывая, что ω ⇒ 0) имеем:

Отсюда

Колебания координаты происходят с амплитудой , а фаза колебаний совпадает с фазой колебаний внешней силы. Отметим, что амплитуда колебаний тем меньше, чем больше жесткость пружины. Качественно этот случай можно описать так. При малой частоте изменения внешней силы происходит почти то же самое, что и при действии на пружину постоянной силы. В соответствии с законом Гука смещение увеличивается пропорционально внешней силе, и в любой момент внешняя сила почти точно уравновешивается силой упругости пружины.

С энергетической точки зрения условия для перекачки энергии в колебательную систему от внешних тел, действующих на систему с период ич*еской силой, в данном случае очень неблагоприятны. В самом деле: четверть периода, когда тело смещается от положения равновесия, внешняя сила совершает положительную работу, так как сила и скорость тела, а значит, и перемещение направлены в одну сторону (рис. 1.19, а). Но в следующую четверть периода, когда тело возвращается к положению равновесия, сила и скорость (а значит, и перемещение) направлены в противоположные стороны (рис. 1.19, б). Работа внешней силы при этом отрицательна. Та же картина будет наблюдаться во вторую половину периода. В целом за период работа внешней силы почти точно равна нулю. Лишь малая часть работы внешней силы идет на компенсацию работы силы трения, так как скорость движения тела при ω << ω0 очень мала, и поэтому мало значение силы трения.

Рис. 1.19

Здесь имеется некоторая тонкость, иногда затрудняющая понимание сути дела. Если смещение от положения равновесия прямо пропорционально силе в любой момент времени, то казалось бы на первый взгляд, что работа должна быть все время положительной. Однако надо иметь в виду, что знак работы зависит от совпадения направления силы и направления перемещения, т. е. скорости, а не знака координаты. Для того чтобы работа была положительной, необходимо совпадение знаков Fх и Δх (или = vx), а не Fx и x.

Надо хорошо представлять себе, что когда сила и координата достигают максимальных значений, то после этого сила начинает уменьпхаться, не меняя направления, а скорость меняет направление.

Вынужденные колебания большой частоты

В случае ω >> ω0 в левой части уравнения (1.9.5) наибольшим будет первый член, амплитуда которого пропорциональна квадрату частоты. Он играет основную роль и поэтому можно записать

По фазе с колебаниями силы совпадают теперь не колебания координаты, а колебания ускорения. Колебания координаты происходят в противофазе с колебаниями внешней силы. Амплитуда координаты равна:

Таким образом, колебания тела происходят по закону

При ω ⇒ ∞ (это эквивалентно условию ω >> ω0m ⇒ 0, т. е. амплитуда колебаний мала. Этот результат вполне естествен. Сила столь быстро меняет направление, что тело, обладающее инертностью, не успевает заметно сдвинуться относительно положения равновесия.

Половину периода внепхняя сила соверпхает положительную работу, а другую половину — отрицательную. Половину периода сила и перемещение направлены одинаково, а другую половину периода они направлены в противоположные стороны. Энергия опять почти не поступает в систему.


* Человек на качелях может самостоятельно раскачаться. Для этого он должен приседать при наибольших отклонениях качелей от положения равновесия и выпрямляться в положении равновесия. Такие колебания, называемые параметрическими, мы рассматривать не будем.

** Необходимо сделать одно уточнение. При наличии сил сопротивления собственная частота ωc свободных колебаний не равна . На самом деле она несколько меньше:

Но при малом коэффициенте сопротивления (к ⇒ 0) ωc = ω0. Практически наиболее интересен именно такой случай. Поэтому мы с полным основанием можем считать собственную частоту колебаний системы равной ω0.

Рейтинг@Mail.ru