Учебник для 11 класса

ФИЗИКА

§ 1.11. Сложение гармонических колебаний. спектр колебаний

• На тело может действовать не одна, а несколько периодических сил, отличающихся амплитудой, частотой и фазой. В соответствии с принципом независимости сил каждая из сил вызывает движение тела (колебание), не зависящее от одновременного действия других сил. Благодаря этому происходит сложение колебаний, и в результате тело совершает некоторое сложное колебание, представляющее собой налож:ение отдельных колебаний*.

Гармоническое колебание как проекция вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью

Наиболее просто складываются гармонические колебания одинаковых частот. Предварительно рассмотрим проекцию вращающегося вектора.

Пусть вектор вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через точку О (рис. 1.24).

Рис. 1.24

Модуль вектора обозначим через α. В начальный момент времени t = 0 вектор образует с осью X угол φ₀. В дальнейшем при равномерном вращении угол между вектором и осью X линейно растет со временем:

Проекция вектора на ось X равна:

Одновременно- проекция этого вектора на ось Y оказывается равной

Мы получили простой, но важный результат.

Проекция вектора, вращающегося с постоянной скоростью, совершает гармонические колебания с частотной, равной угловой скорости вращения вектора. Амплитуда этих колебаний равна модулю вектора, а начальная фаза равна углу, образованному вектором с осью координат X в начальный момент времени.

Сложение гармонических колебаний одинаковых частот

Сложение колебаний одинаковых частот проще всего осуществить е помощью так называемой векторной диаграммы.

Векторной диаграммой называют графическое изображение гармонических колебаний и соотношений между гармонически колеблющимися величинами с помощью векторов.

Построение векторной диаграммы основано на известном факте: проекция результирующего вектора равна сумме проекций слагаемых векторов. Поэтому сложение гармонических колебаний

осуществляется так. Строят векторы и , изображающие первое и второе колебания (рис. 1.25).

Рис. 1.25

Их модули равны амплитудам складываемых колебаний, а угол между ними, равный

представляет собой сдвиг фаз между этими колебаниями.

Так как частоты складываемых колебаний равны, то угол φ_c, между векторами и не меняется.

Проекция суммарного вектора представляет собой результирующее колебание:

Оно происходит с той же частотой ω, что и колебания х₁ и х₂. Модуль с вектора равен амплитуде результирующих колебаний. По теореме косинусов для треугольника ОСА получим:

Амплитуда результирующего колебания зависит от амплитуд складываемых колебаний а и Ь и сдвига фаз между ними. С помощью рисунка 1.25 можно найти и начальную фазу π₀.

Сложение гармонических колебаний различных частот

Гораздо более сложная картина возникает при сложении колебаний различных частот. Мы этот случай подробно рассматривать не будем. Ограничимся лишь несколькими замечаниями.

При сложении гармонических колебаний различных частот результирующее колебание уже не будет гармоническим.

Если складываются колебания с кратными частотами, то результирующее колебание оказывается периодическим, а его форма может очень сильно отличаться от синусоиды.

На рисунке 1.26 представлен результат сложения 18 гармонических синусоидальных колебаний с различными амплитудами, начальными фазами и различными, но кратными частотами. Получился профиль девушки, фотография которой помещена рядом. Такую форму будет иметь график зависимости смещения колеблющейся точки от времени (временная развертка колебаний).

Рис. 1.26 Каждый, если не пожалеет времени, может убедиться, что вас не пытаются ввести в заблуждение. Кстати, можно убедиться и в том, что профиль девушки будет с течением времени периодически повторяться.

Спектр колебаний

Можно поставить обратную задачу: заданы периодические, но не гармонические колебания координаты, внешней силы или какой-либо другой физической величины. Надо представить данное сложное колебание в виде суммы гармонических колебаний.

Развиты строгие математические методы, которые позволяют это сделать для любого сколь угодно сложного колебания. Например, по заданному графику, изображающему профиль девушки (см. рис. 1.26), можно найти амплитуды, частоты и фазы гармонических функций, сумма которых дает исходное колебание.

Мы не будем касаться этой сложной математической задачи. Обратим внимание лишь на одно наиболее существенное обстоятельство. Важным является определение частот тех гармонических колебаний, на которые разлагается сложное колебание. Совокупность частот сложного колебания называется его частотным спектром или просто спектром. Колебания каждой частоты представлены с той или иной амплитудой.

Значение анализа спектрального состава сложного колебания связано с резонансом. Допустим, на колебательную систему с собственной частотой колебаний ω₀ действует внешняя сложная периодическая сила. Тогда наша колебательная система будет заметно отзываться только на гармоническую составляющую сложного колебания, частота которой совпадает с собственной частотой колебательной системы или близка к ней. При малых силах трения в системе резонансная кривая имеет резкий максимум и гармонические составляющие периодической силы с частотами, заметно отличающимися от резонансной, не вызовут «отклика» системы. Если в спектре внешней силы нет частот, близких к собственной частоте колебаний системы, то амплитуда вынужденных колебаний системы будет мала.

Благодаря этому с помощью набора колебательных систем с различными собственными частотами можно экспериментально определить спектр колебаний внешней силы. Например, частотомер, о котором говорилось в § 1.10, позволяет установить спектр сложных электрических колебаний силы тока. Для этого обмотку электромагнита нужно питать этим током. В такт с колебаниями силы тока будет колебаться планка с пластинами. Лишь те пластины, собственные частоты колебаний которых присутствуют в спектре колебаний тока, будут иметь заметную амплитуду колебаний.

Непериодическую функцию времени тоже можно представить в виде бесконечной суммы гармонических колебаний. Но частоты этих колебаний могут быть любыми.

* Имеет смысл отметить, что такая простая картина возникает только в линейных колебательных системах, в которых сила, возвращающая тело в положение равновесия, прямо пропорциональна смещению от положения равновесия. Если же возвращающая сила зависит от смещения нелинейно, то картина колебаний чрезвычайно сильно усложняется. Результирующее колебание уже не является простой суммой отдельных колебаний. Такие сложные нелинейные системы мы рассматривать не будем. Правда, именно изучение колебаний в нелинейных системах представляет наибольший теоретический и практический интерес в современной физике.