Учебник для 9 класса

§ 11. Графические построения при выполнении чертежей

При создании чертежей приходится выполнять различные графические построения: делить на равные части отрезки и окружности, строить углы, сопряжения и др. Поэтому, прежде чем приступить к выполнению чертежа, надо определить, какие построения требуется применить в данном случае.

Простейшие графические построения осуществляются с помощью чертежных инструментов -линейки, рейсшины, угольников, циркуля, лекал и пр. В математике такие построения называют геометрическими. Примерами подобных построений могут служить задачи на проведение параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, деление отрезков, углов и окружностей на равные части и пр. Широкие возможности для графических построений открылись с появлением компьютеров.

Одни и те же графические построения могут быть выполнены различными приемами и с помощью различных инструментов. Рассмотрим некоторые из них.

11.1. Деление отрезков и построение углов. Чтобы разделить отрезок АВ на несколько равных частей, из его конца, например из точки А, проводят под любым углом к нему произвольной длины прямую (рис. 55, а) . Из точки А по ней откладывают циркулем или линейкой столько равных частей, на сколько нужно разделить отрезок, например четыре. Соединяют точку 4 с точкой В прямой и проводят параллельные ей другие прямые через точки 3, 2, 1. Полученные точки 1 2 , 30 делят отрезок АВ на четыре равные части.

Деление отрезков

Рис. 55

Разделить отрезок на две равные части можно с помощью циркуля и линейки (рис. 55, б). Для этой цели из точек А и Б радиусом больше половины отрезка проводят дуги до их взаимного пересечения в точках С и С1. Соединив эти точки прямой, получим в пересечении ее с отрезком АВ точку D, которая является серединой заданного отрезка.

Построение различных углов, например в 45°, 60°, лучше выполнять с помощью угольников. Но строить углы, как и делить их на равные части, можно и с помощью других инструментов. Такие графические построения рассматриваются в геометрии.

  1. Вспомните последовательно графические построения, которые нужно произвести, чтобы разделить отрезок на несколько равных частей.
  2. Рассмотрите изображения, показывающие последовательность построения углов разной величины. Какие углы можно построить с помощью угольников?

Задание 7. В рабочей тетради разделите отрезок, равный 60 мм, в от-ношении 2:1. Какой длины оказались отрезки?

Задание 8. С помощью угольников постройте углы в 45°, 60°, 30°, 90°, 120°, 150°.

11.2. Деление окружности на равные части. Некоторые детали имеют равномерно расположенные окружности или другие элементы, для построения которых нужно делить заданную окружность на равные части.

Для того чтобы разделить окружность на три равные части, нужно принять за центр точку пересечения окружности с одним из диаметров и провести из нее дугу, радиус которой R равен радиусу изображенной окружности (рис. 56, а). Полученные точки 1 и 3 вместе с точкой 2 разделяют заданную окружность на три равные части. Соединив точки 1, 2 и 3 прямыми, получим вписанный треугольник (рис. 56, б).

Вписанный треугольник

Рис. 56

Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Соединив точки 1, 2, 3 и 4 прямыми (рис. 57), получим вписанный четырехугольник.

Вписанный четырехугольник

Рис. 57

На шесть равных частей окружность делят так. Приняв за центры дуг точки пересечения одного из диаметров с окружностью - А и В, проводят две дуги радиусом R, равным радиусу изображенной окружности (рис. 58, а). Эти дуги пересекают окружность в четырех точках 1, 2, 3 и 4. Вместе с точками А и Б они делят окружность на шесть равных частей (рис. 58, б). Ту же задачу можно решить при помощи угольника с углами 30° и 60° и линейки (рис. 58, в).

Решение задачи при помощи угольника

Рис. 58

На рисунке 59, а показано деление окружности на восемь равных частей. Для этой цели дуги 1-3, 3-5 и др. делят пополам точками 2, 4 и т. д. или делят на две равные части отрезки 1-3, 3-5 и т. д. Можно поступить так: провести через центр окружности две пары взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 59, б).

Взаимно перпендикулярные диаметры

Рис. 59

На пять равных частей окружность можно разделить с помощью циркуля и линейки (рис. 60, а). Если разделить радиус ОА окружности пополам (точка К), провести из точки К дугу радиусом КС до пересечения ее с диаметром окружности (точка М), то отрезок СМ и будет стороной вписанного пятиугольника. Последовательно откладывая полученный отрезок на окружности, можно получить точки, которые разделят окруж-ность на пять равных частей.

Эту графическую задачу можно решить и так: пятой части окружности соответствует угол в 72° (360°: 5 = 72°); такой угол можно построить с помощью транспортира (рис. 60, б).

Окружность можно разделить с помощью циркуля и линейки

Рис. 60

  1. Как разделить окружность на три, четыре, шесть и восемь равных частей?
  2. С помощью каких инструментов и как можно разделить окружность на пять равных частей?

Задание 9. В рабочей тетради разделите окружность Ø40 мм на три части. Впишите в нее правильный треугольник. Измерьте его сторону и нанесите размер на чертеж.

Задание 10. Перечертите изображения деталей (рис. 61, а и б), применяя правила деления окружности на равные части. Размеры можно не проставлять.

Изображения деталей

Рис. 61

11.3. Построение сопряжений линий. Контуры многих деталей (рис. 62) имеют плавные переходы одной линии в другую - кривой в прямую, одной кривой в другую и др. Такие плавные переходы называют сопряжениями. Точки, в которых одна линия переходит в другую, называют точками сопряжений (точки А и Б на рис. 63). Центры, из которых проводят дуги для построения сопряжений, называют центрами сопряжений. Радиус дуги, с помощью которой осуществляют построение сопряжения, называют радиусом сопряжения.

Построение сопряжений

Рис. 62

Центры сопряжений

Рис. 63

Рассмотрим некоторые примеры. Для построения сопряжения двух прямых линий, пересекающихся под любым углом (рис. 64), необходимо выполнить следующие построения.

Сопряжения двух прямых линий

Рис. 64

  1. Найти центр сопряжения - точку О. Она лежит на расстоянии радиуса сопряжения (R) от заданных прямых и является точкой пересечения двух прямых, проведенных параллельно заданным прямым.
    В точке пересечения этих прямых и находится центр сопряжения О. Величина радиуса R задается в условии задачи.
  2. Найти точки сопряжения. Для этого проводят перпендикуляры из центра сопряжения О к заданным прямым. Полученные точки А и Б являются точками сопряжений.
  3. Провести дугу заданного радиуса между точками сопряжений А и Б, поставив опорную ножку циркуля в точку О.

Таким образом, для построения сопряжения надо найти центр сопряжения, точки сопряжений, знать радиус сопряжения.

При построении сопряжений следует иметь в виду, что переход от прямой к окружности будет плавным в том случае, если прямая касается окружности (см. рис. 63, а). Точка сопряжения А лежит на радиусе, перпендикулярном данной прямой.

Переход от одной окружности к другой будет плавным, если окружности касаются друг друга. Точка сопряжения Б находится на прямой, соединяющей их центры (рис. 63, б).

Сопряжение окружности и прямой, при заданном радиусе сопряжения R1, выполняют следующим образом (рис. 65).

Сопряжение окружности и прямой

Рис. 65

  1. Из центра окружности - точки О - проводят дугу вспомогательной окружности радиусом R + R.
  2. Проводят на расстоянии R от заданной прямой параллельную ей прямую до пересечения с дугой радиуса R + R1 в точке О1. Точка О1 будет центром сопряжения.
  3. Соединяют прямой точки О и O1, т. е. центры окружности и сопрягающей дуги, получают точку сопряжения А. Определяют вторую точку сопряжения В, проведя из точки О1 перпендикуляр к прямой.
  4. Из центра сопряжения О1 дугой радиуса R1 соединяют точки сопряжения А и Б и получают плавный переход от окружности к прямой.

Выполняя чертеж, следует определять последовательность геометрических построений. Такой процесс называют анализом графического состава изображений.

  1. Что понимают под сопряжением линий?
  2. Назовите графические построения, которые необходимо выполнить для построения сопряжений двух прямых, прямой с окружностью.

Графическая работа № 2. Чертеж детали

По наглядному изображению (рис. 66, а и б) постройте чертеж одной из деталей с применением сопряжений. Проставьте размеры.

Чертеж деталеи с применением сопряжений

Рис. 66

 

Рейтинг@Mail.ru