Учебник для 8 класса

Алгебра

38. Свойства степени с целым показателем

Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).

Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с целым отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем.

Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свойства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отрицательные числа.
Иначе говоря, докажем, что если k и р — натуральные числа и а ≠ 0,
то а^{- k} • а^{- р} = а^{- k - р}.

Имеем

Заменяя степени а^{- k} и а^{- р} дробями и дробь степенью а^{- (k + р)}, мы воспользовались определением степени с целым отрицательным показателем. Заменяя произведение а^kа^р степенью а^{к + р}, мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем.

Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.

Пример 1. Преобразуем произведение а^-17 • а²¹.

Решение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем

Пример 2. Преобразуем частное b² : b⁵.

Решение: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Имеем

Для степеней с натуральными и нулевым показателями мы могли применять правило деления степеней с одинаковыми основаниями в том случае, когда показатель степени делимого был не меньше показателя степени делителя. Теперь, после введения степеней с целыми показателями, это ограничение снимается: показатели степеней делимого и делителя могут быть любыми целыми числами.

Пример 3. Упростим выражение (2а³b^{- 5})^{- 2}.

Решение: Сначала применим свойство (4), а затем свойство (3). Имеем

Упражнения

985. Найдите значение выражения:

     

986. Вычислите:

     

987. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.
988. Докажите, что при любом целом n, а ≠ 0 и b ≠ 0.
989. Вычислите:

     

990. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

     

991. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение:

     

992. Представьте выражение, в котором m — целое число, в виде степени с основанием 5:

     

993. Вычислите:

     

994. Найдите значение выражения:

     

995. (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, сократите дробь:

     

     1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
     2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.
     3) Исправьте ошибки, если они допущены.

996. Представьте какими-либо тремя способами выражение х^-10 в виде произведения степеней.
997. Представьте выражение а¹², где а ≠ 0, в виде степени:

     а) с основанием а⁴;
     б) с основанием а^-6.

998. Представьте в виде степени с основанием х частное:

     

999. Упростите выражение:

     

1000. Найдите значение выражения:

      

1001. Упростите выражение и найдите его значение:

      

1002. Представьте степень в виде произведения:

      

1003. Преобразуйте в произведение:

      

1004. Представьте в виде степени произведения выражение:

      

1005. Упростите выражение:

      

1006. Преобразуйте выражение:

      

1007. Упростите выражение:

      

1008. Преобразуйте выражение:

      

1009. Известно, что х₁ и х₂ — корни уравнения 8х² - 6x + n = 0 и x₁^-1 + x₂^-1 = 6. Найдите n.
1010. Решите уравнение

      

1011. Найдите область определения функции:

      

1012. Сократите дробь , зная, что b = а + с.