|
|
Учебник для 8 класса Алгебра28. Числовые неравенстваМы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, ≤, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: а = b, а ≤ b, а > b. Рассмотрим примеры. 1. Сравним обыкновенные дроби и . Для этого приведём их к общему знаменателю:
Так как 35 > 32, то > . 2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби стоит цифра 4, а во второй — цифра 5. Так как 4 < 5, то 3,6748 < 3,675. 3. Сравним обыкновенную дробь и десятичную дробь 0,45. Обратив дробь в десятичную, получим, что = 0,45. 4. Сравним отрицательные числа -15 и -23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т. е. -15 > -23. В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным числом или нулём. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении:
Заметим, что если разность а - b равна нулю, то числа а и b равны. На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее — точкой, лежащей левее. Действительно, пусть а и b — некоторые числа. Обозначим разность а - b буквой с. Так как а - b = с, то а = b + с. Если с — положительное число, то точка с координатой b + с лежит правее точки с координатой b, а если с — отрицательное число, то левее (рис. 22).
Рис. 22 Значит, если а > b, то точка с координатой а лежит правее точки с координатой b, а если а < b — левее. Покажем, как приведённое определение используется при решении задач. Пример 1. Докажем, что при любых значениях переменной а верно неравенство (а - 3)(а - 5) < (а - 4)2. Решение: Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её: (а - 3)(а - 5) - (а - 4)2 =
При любом а рассматриваемая разность отрицательна и, следовательно, верно неравенство (а - 3) (а - 5) < (а - 4)2. Пример 2. Пусть а и b — положительные числа. Как известно, а + b число называется средним арифметическим чисел а и b, число — средним геометрическим, число средним гармоническим. Докажем, что среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел а и b связаны следующим соотношением:
Решение: Докажем сначала, что
Преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства:
При a > 0 и b > 0 рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство
Рассмотрим теперь разность -
При а > 0 и b > 0 составленная разность либо является отрицательным числом, либо равна нулю и, значит, верно неравенство
Итак, мы доказали, что если а > 0 и b > 0, то
Упражнения
|
|
|