Учебник для 8 класса

Алгебра

27. Уравнения с параметром

Каждое из уравнений

7х = 5, -Зх = 5, 0x = 5

имеет вид ах = 5, где а — некоторое число.

Первое уравнение, в котором а = 7, имеет корень . Второе уравнение, в котором а = -3, имеет корень . Третье уравнение, в котором а = 0, не имеет корней.

Вообще, уравнение вида ах = 5 при а ≠ 0 имеет единственный корень , а при а = 0 не имеет корней. а

Рассматривая уравнение ах = 5, мы придавали буквам а их различный смысл, считая, что буквой х обозначено неизвестное число, а буквой а — некоторое фиксированное число. В таких случаях говорят, что а является параметром, а ах = 5 — уравнение с параметром.

Для уравнения ах = 5 мы выяснили, что при любом значении параметра а, не равном нулю, корень уравнения можно найти по формуле х = , а при а = 0 это уравнение корней не имеет. В таких а случаях говорят, что мы решили уравнение с параметром.

Вообще решить уравнение с параметром — это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решим уравнение

bх - Зх = b³ - Зb² + 4b - 12

с параметром b.

Решение: Вынесем в левой части уравнения множитель х за скобки. Получим

(b - 3)х = b³ - Зb² + 4b - 12.

Мы имеем линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен ли от нуля коэффициент при х или равен нулю. Если b - 3 ≠ 0, т. е. b ≠ 3, то уравнение имеет единственный корень

Разложив числитель дроби на множители, получим, что

Отсюда

х = b² + 4.

Если b - 3 = 0, т. е. b = 3, то уравнение принимает вид 0x = 0. В этом случае любое число является корнем уравнения.

Итак, мы нашли, что при b ≠ 3 уравнение имеет единственный корень b² + 4, а при b = 3 любое число является корнем уравнения.

Пример 2. Решим уравнение

ах² + (а² - 1)х + (а - 1)² = 0

с параметром а.

Решение: Данное уравнение при а = 0 является линейным, а при а ≠ 0 — квадратным. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Если а = 0, то данное уравнение обращается в линейное уравнение —х + 1 = 0, которое имеет единственный корень х = 1.

Пусть а ≠ 0. Тогда мы имеем квадратное уравнение

ах² + (а² - 1)х + (а - 1)² = 0

Найдём его дискриминант:

D = (а² - 1)² - 4а(а - 1)² = (а - 1)²((а + 1)² - 4а) = (а - 1)⁴.

Так как D ≥ 0 при любом значении а, то это уравнение при любом а имеет корни.

Если а = 1, то D = 0, и это уравнение имеет единственный корень. Найти его можно, подставив в уравнение вместо а число 1. Получим х² = 0. Отсюда х = 0.

Если а ≠ 1, то D > 0, и уравнение имеет два корня:

Итак, мы нашли, что данное уравнение имеет корень 1 при а = 0, корень 0 при а = 1, корни 1 - а и при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Упражнения

640. Какие случаи надо выделить при решении уравнения bх + 2х = = Зb + 6 с параметром b? Найдите корни уравнения в каждом из этих случаев.
641. Решите относительно у уравнение:

     

642. Решите уравнение с параметром а:

     

643. Решите уравнение с параметром b:

     

644. Решите относительно х уравнение:

     

645. При каких значениях параметра t имеет единственный корень уравнение:

     

646. Выясните, при каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения

     

     принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

647. Решите относительно х уравнение

     

648. Решите уравнение с параметром к:

     

649. Выясните, при каких значениях параметра b равна 7 сумма корней уравнения