|
|
Учебник для 8 класса Алгебра22. Формула корней квадратного уравненияРассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Начнём с примера. Решим уравнение
Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
Выделим из трёхчлена квадрат двучлена. Для этого разность представим в виде , прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим
Отсюда
Следовательно,
Уравнение имеет два корня: - и 1. Способ, с помощью которого мы решили уравнение, называют выделением квадрата двучлена. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение (1) Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
Преобразуем это уравнение, используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись в рассмотренном примере:
Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4а2 — положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т. е. выражения b2 - 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 («дискриминант» по-латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т. е.
Запишем уравнение (2) в виде . Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от значения D. 1) Если D > 0, то
Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:
Принята следующая краткая запись, которую называют формулой корней квадратного уравнения:
2) Если D = 0, то уравнение (2) примет вид:
Отсюда
В этом случае уравнение (1) имеет один корень . Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться и в этом случае. Действительно, при D = 0 формула (I) принимает вид
откуда
3) Если D < 0, то значение дроби отрицательно и поэтому уравнение
а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней. Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).
Пример 1. Решим уравнение 12х2 + 7x + 1 = 0. Решение: Найдём дискриминант: D = 72 - 4 • 12 • 1 = 1, D > 0. Применим формулу корней квадратного уравнения:
Ответ: Пример 2. Решим уравнение х2 - 12х + 36 = 0. Решение: Имеем
Ответ: 6. Пример 3. Решим уравнение 7х2 - 2bх + 23 = 0. Решение: Имеем D = (-25)2 - 4 • 7 • 23 = 625 - 644, D < 0. Ответ: корней нет. Из формулы (I) можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом. Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + 2kх + с = 0. Найдём его дискриминант: D = 4k2 - 4ас = 4(k2 - ас). Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения k2 - ас. Обозначим это выражение через D1. Если D1 < 0, то по формуле корней квадратного уравнения получим
Значит, если квадратное уравнение имеет вид ах2 + 2kx + с = 0, то при D1 < 0 его корни могут быть найдены по формуле
Если D1 < 0, то уравнение корней не имеет. Пример 4. Решим уравнение 9х2 - 14х + 5 = 0. Решение: Имеем D1 = (-7)2 - 9 • 5 = 4,
Ответ: х1 = , х2 = 1. Упражнения
|
|
|