Учебник для 8 класса

Алгебра

       

21. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений

имеет вид

где х — переменная, а, b и с — числа.

В первом уравнении а = - 1, b = 6 и с = 1,4, во втором а = 8, b = -7 и с = 0, в третьем а = 1, b = 0 и с = . Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число с — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения

Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х2 + 7 = 0, Зх2 - 10x = 0 и -4x2 = 0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b = 0, во втором с = 0, в третьем b = 0 и с = 0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

  1. ах2 + с = 0, где с ≠ 0;
  2. ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;
  3. ах2 = 0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Пример 1. Решим уравнение -Зх2 + 15 = 0.

Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

-Зх2 = -15,
х2 = 5.

Отсюда

х = или х = - .

Ответ: х1 = , х2 = - .

Пример 2. Решим уравнение 4х2 + 3 = 0.

Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:

4х2 = -3,
x2 =

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х2 + 3 = 0. Ответ: корней нет.

Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение

х2 = - ,

равносильное уравнению ах2 + с = 0.

Так как с ≠ 0, то - ≠ 0.

Если > 0, то уравнение имеет два корня:

Если < 0, то уравнение не имеет корней. а

Пример 3. Решим уравнение 4х2 + 9х = 0.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:

х(4х + 9) = 0.

Отсюда

х = 0 или 4х + 9 = 0.

Решим уравнение 4х + 9 = 0:

4х = -9,
x = - 2.

Ответ: x1 = 0, х2 = -2.

Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + bх = 0 при b ≠ 0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

х (ах + b) = 0.

Произведение х(ах + b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

х = 0 или ах + b = 0.

Решая уравнение ах + b = 0, в котором а ≠ 0, находим

ах = - b,
х = - .

Следовательно, произведение х(ах + b) обращается в нуль при х = 0 и при х = - . Корнями уравнения ах2 + bх = 0 являются числа 0 и - .

Значит, неполное квадратное уравнение вида ах2 + bх = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ах2 = 0 равносильно уравнению х2 = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Упражнения

  1. Является ли квадратным уравнение:

  2. Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты:

    Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями?

  3. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
  4. Найдите корни уравнения:

  5. Решите уравнение и укажите приближённые значения корней с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором):

  6. Решите уравнение:

  7. Решите уравнение:

  8. Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней?

  9. При каких значениях а уравнение (а - 2)х2 + 15х + а2 - 4 = 0 является неполным квадратным уравнением? Выберите верный ответ.

  10. Решите уравнение:

  11. Найдите корни уравнения:

  12. Решите уравнение:

  13. Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.
  14. Теннисный корт представляет собой прямоугольную площадку, длина которой вдвое больше ширины, а площадь равна 800 м2. Найдите длину и ширину корта.
  15. Если от квадрата отрезать треугольник площадью 59 см2, то площадь оставшейся части будет равна 85 см2. Найдите сторону квадрата.
  16. Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км?
  17. Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле s = , где t (с) — время, g ≈ 10 м/с2, s (м) — пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 м?
  18. Ширина земельного участка, имеющего форму прямоугольника, составляет 75% его длины, а его площадь равна 4800 м2. Найдите длину забора, ограждающего этот участок.
  19. Телевизор имеет плоский экран прямоугольной формы. В паспорте к телевизору указано, что длина экрана относится к ширине как 4 : 3, а диагональ равна 25 дюймам. Найдите длину и ширину экрана в дюймах; в сантиметрах (1 дюйм = 2,54 см).
  20. В каких координатных четвертях расположен график функции:

  21. Найдите значение выражения при х = 0,36 и при х = 49.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru