|
|
Учебник для 8 класса Алгебра15. Функция у = √х и её графикПусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь равна S см2. Каждому значению длины а стороны квадрата соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от длины его стороны выражается формулой S = а2, где а ≥ 0. Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение длины стороны а. Зависимость длины стороны квадрата от его площади выражается формулой а = .
Формулами S = а2, где а ≥ 0, и а = задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является длина а стороны квадрата, а во втором — площадь S. Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы у = х2, где х ≥ 0, и y = . Мы знаем, что графиком функции у = х2, где х ≥ 0, является часть параболы — её правая ветвь (рис. 16). Построим теперь график функции у = .
Рис. 16 Так как выражение имеет смысл при х ≥ 0, то областью определения функции у = служит множество неотрицательных чисел. Составим таблицу значений функции у = (приближённые значения у для значений х, не являющихся квадратами целых чисел, можно найти с помощью калькулятора).
Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведя от начала координат через эти точки плавную линию так, как это показано на рисунке 17, получим график функции у = .
Рис. 17 Сформулируем некоторые свойства функции у = .
Например: . График функции у = , как и график функции у = х2, где х ≥ 0, представляет собой ветвь параболы. Эти графики симметричны относительно прямой у = х (рис. 18). Доказательство симметрии графиков основано на том, что точки с координатами (а; b) и (b; а) симметричны относительно прямой у = х.
Рис. 18 Пусть точка М (а; b) принадлежит графику функции у = х2, где х ≥ 0. Тогда верно равенство b = а2. По условию а — неотрицательное число, поэтому а = . Значит, при подстановке координат точки N (b; а) в формулу у = получается верное равенство, т. е. точка N (b; а) принадлежит графику функции у = . Верно и обратное: если некоторая точка принадлежит второму графику, то точка, у которой координатами являются те же числа, но взятые в другом порядке, принадлежит первому графику. Таким образом, каждой точке М (а; b) графика функции у = х2, где х ≥ 0, соответствует точка N (b; а) графика функции у = и наоборот. Так как точки М (а; b) и N (b; а) симметричны относительно прямой у = х, то и сами графики симметричны относительно этой прямой. Упражнения
Контрольные вопросы и задания
|
|
|