Учебник для 7 класса

Алгебра

       

8. Решение задач с помощью уравнений

При решении .задач с помощью уравнений поступают следующим образом:

обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение;

истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.

Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?

Решение: Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике было 2х яблок. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в корзине стало х — 10 яблок, а в ящике стало 2х + 10 яблок. Но условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине. Значит,

5(х - 10) = 2х + 10.

Решим составленное уравнение:

5х - 50 = 2х + 10,
5х - 2х = 10 + 50,
Зх = 60,
х = 20.

Следовательно, в корзине было 20 яблок.

Так как 2х = 2 • 20 = 40, то в ящике было 40 яблок.

Ответ: 20 яблок и 40 яблок.

Задача 2. Предназначенные для посадки 78 саженцев смородины решили распределить между тремя бригадами так, чтобы первой бригаде досталось саженцев в 2 раза меньше, чем второй, а третьей — на 12 саженцев больше, чем первой. Сколько саженцев надо выделить первой бригаде?

Решение: Пусть первой бригаде решили выделить х саженцев. Тогда второй следует выделить 2х саженцев, а третьей х + 12 саженцев. Общее число саженцев х + 2х + (х + 12), что по условию задачи равно 78.

Значит:

х + 2х + (х + 12) = 78.

Решим полученное уравнение:

х + 2х + х + 12 = 78,
4х = 78 - 12, 4х = 66, х = 16,5.

По смыслу задачи значение х должно быть натуральным числом, а корень уравнения — дробное число. Значит, распределить саженцы указанным способом нельзя.

Ответ: Такое распределение саженцев невозможно.

Упражнения

  1. В одной кассе кинотеатра продали на 36 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано 392 билета?
  2. На Парковой и Молодёжной улицах восстановили разрушенные в половодье 19 домов. На Парковой было восстановлено на 3 дома меньше, чем на Молодёжной. Сколько домов было восстановлено на каждой из этих улиц?
  3. Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны равны между собой, и каждая из них на 2,9 см больше третьей. Каковы стороны треугольника?
  4. Протяжённость автомобильной трассы составляет 6940 м. Большую часть трассы занимают два тоннеля, длина одного из которых на 1 7 м больше длины другого. Найдите длину каждого тоннеля, если наземная часть трассы составляет 703 м.
  5. Старинная задача. Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132 рупий. Сколько дал каждый?
  6. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причём первый изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
  7. Прибыль, полученная фирмой за первые два квартала текущего года, составила 126 000 р., причём прибыль, полученная во втором квартале, была на 10% выше, чем в нервом. Какую прибыль получила эта фирма в нервом квартале?
  8. Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья — на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?
  9. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причём на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
  10. Можно ли расположить 158 книг на трёх полках так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй, и на 5 книг больше, чем на третьей?
  11. Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором — на 4 банки меньше, чем в третьем?
  12. На одном садовом участке в 5 раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустов малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?
  13. За 9 ч но течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
  14. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдёт столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?
  15. Старинная задача. Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?
  16. Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду ещё четырёх маляров, а двух плотников перевёл на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?
  17. (Для работы в парах.) В классе учится ... учащихся. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 5 : 4. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в классе?
    1. Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.
    2. Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.
    3. Обсудите полученные ответы.
  18. В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?
  19. Один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.
  20. В двух мешках было но 50 кг сахара. После того как из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в нём осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько сахара осталось в каждом мешке?
  21. Постройте в координатной плоскости точку, у которой:

      а) абсцисса равна 3, а ордината противоположна абсциссе;
      б) абсцисса равна -2, а ордината на единицу больше;
      в) абсцисса равна 1,5, а ордината на единицу меньше;
      г) абсцисса равна 6, а ордината — противоположному числу.

  22. Постройте в координатной плоскости отрезок MN, зная координаты его концов: М (-1; 4) и N(2; -2). Найдите координаты точек пересечения этого отрезка с осью х и с осью у.
  23. Найдите значение выражения -0,5(76 - 12а) - (8,4а - 14b) при а = -10, b = -6.
  24. Сравните с нулём значение выражения:

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте определение корня уравнения. Является ли число 7 корнем уравнения: 6х = 42; Ох = 11; (16 - 2 • 8)х = 0?
  2. Что значит решить уравнение? Решите уравнение: 6х = -12; х - 2х • 6 = 0; 5х - 4х = 6 + х.
  3. Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению: 5х - 1 = 3; 0,2х =1,1; Зх-4х + 6 = 0.
  4. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры.
  5. В каком случае уравнение ах = 6 имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru