Учебник для 7 класса

Алгебра

Как появилась алгебра

Алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с потребностями практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений.

Слово «алгебра» возникло после появления трактата «Китаб аль-джебр валь-мукабала» математика и астронома из г. Хивы Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми (787 — ок. 850). Термин «аль-джебр», взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как «алгебра».

До XVI в. изложение алгебры велось в основном словесно. Буквенные обозначения и математические знаки появлялись постепенно. Знаки «+» и «-» впервые встречаются у немецких алгебраистов XVI в. Несколько позже вводится знак «х» для умножения. Знак деления «:» был введён лишь в XVII в. Решительный шаг в использовании алгебраической символики был сделан в XVI в., когда французский математик Франсуа Виет (1540—1603) и его современники стали применять буквы для обозначения не только неизвестных (что делалось и ранее), но и любых чисел. Однако эта символика ещё отличалась от современной. Так, Виет для обозначения неизвестного числа применял букву N (Numerus — число), для квадрата и куба неизвестного — буквы Q (Quadratus — квадрат) и С (Cubus — куб). Например, запись уравнения x² - 8х² + 16x = 40 у Виета выглядела бы так:

1C - 8Q + 16N acqu. 40 (acquali — равно).

В процессе развития алгебра из науки об уравнениях преобразовалась в науку об операциях, более или менее сходных с действиями над числами. Современная алгебра — один из основных разделов математики.

Школьный курс алгебры включает, кроме некоторых алгебраических сведений, отдельные вопросы из других разделов математики (функции, метод координат, приближённые вычисления, теория вероятностей и др.).

О функциях

В первой половине XVII в. в связи с развитием механики в математику проникают идеи изменения и движения. В это же время начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601—1665) и Рене Декарт (1596—1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А английский учёный Исаак Ньютон (1643—1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

Термин «функция» (от латинского functio — исполнение, совершение) впервые ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646—1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем функцию обычно рассматривали как аналитическое выражение. Однако уже у швейцарского математика Иоганна Бернулли (1667—1748) и члена Петербургской академии наук знаменитого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783) имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

Формулы сокращённого умножения

Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.

У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а²», а «квадрат на отрезке а», не «ab», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b». Например, тождество (а + b)² = а² + 2аb + b² во второй книге «Начал» Евклида (III в. до и. э.) формулировалось так: «Если прямая линия (имеется в виду отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключённым между отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения (см. рис. 70).

Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень — кубом числа.

О методе координат

Первоначально идея координат зародилась в древности в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Так, на стене одной из древнеегипетских погребальных камер была обнаружена квадратная сетка (палетка), которой пользовались для увеличения изображений. Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (II в.) применил географические координаты (долготу и широту) для определения местонахождения мореплавателя. Идеей координат пользовались в Средние века для определения положения светил на небе, для определения места на поверхности Земли. Прямоугольной сеткой пользовались художники эпохи Возрождения.

Применять координаты в математике впервые стали П. Ферма и Р. Декарт. В 1637 г. вышла книга Р. Декарта «Рассуждения о методе», в которой наряду с общими философскими рассуждениями о материи значительное место уделяется «универсальной математике». В разделе этой книги «Геометрия» Р. Декарт предложил новый метод — метод координат, который позволил переходить от точки (в координатной плоскости) к паре чисел, от линии к уравнению, от геометрии к алгебре. Это была новая геометрия, которую в настоящее время называют аналитической геометрией. Заслуга Р. Декарта состояла в том, что он ввёл переменные координаты. Так, в уравнении ах + by = с буквы х и у стали рассматриваться не как неизвестные, а как переменные. Благодаря этому каждой прямой в координатной плоскости соответствует линейное уравнение ах + by = с (а или b — отличные от нуля числа) и наоборот.

Метод координат позволяет строить графики уравнений, изображать геометрически различные зависимости, выраженные аналитически с помощью уравнений и формул, решать различные геометрические задачи с помощью алгебры.

Термины «абсцисса» и «ордината» и название «координаты» были введены в употребление Г. Лейбницем в 70—80-е гг. XVII в.

Вычеслительные средства

С давних пор люди стремились облегчить вычисления. Самой древней «счётной машиной» были пальцы рук и ног, камешки и другие мелкие предметы. Ремесленники и торговцы пользовались для счёта доской, разграфлённой на столбцы, на которой с помощью камешков откладывались единицы различных разрядов. Эту доску называли абаком. От римлян к нам пришло слово «калькуляция», что означает буквально «счёт камешками». Усовершенствование абака привело к появлению счётов (в Древнем Китае — «суан-чан», в Японии — «сорабан»). Русские счёты появились в XVI в.

Машину для механического производства арифметических действий называют арифмометром. Одними из первых таких машин были машины, созданные в 1641 г. французским учёным Блезом Паскалем (1623—1662) и в 1671 г. Г. Лейбницем. Массовое распространение получил арифмометр, сконструированный в 1874 г. петербургским механиком В. Однером.

Революцию в вычислительной технике совершили электронные вычислительные машины (ЭВМ), которые появились в середине XX столетия. Первая ЭВМ была создана в США в 1944 г. Первая советская ЭВМ была построена под руководством академика С. А. Лебедева (1902—1974) в 1950 г. Современные ЭВМ производят несколько миллионов операций в секунду и находят широкое применение в различных областях науки и народного хозяйства. Простейшей ЭВМ является калькулятор.