Учебник для 7 класса

Алгебра

3. Сравнение значений выражений

Решим задачу: «Пшеницей засеяли два опытных участка площадью 48 га и 60 га. С первого участка собрали 1800 ц пшеницы, а со второго 2100 ц. На каком участке урожайность выше?»

Урожайность выражается частным от деления массы пшеницы, собранной с участка, на площадь участка. Чтобы узнать, на каком участке урожайность выше, надо сравнить значения выражений 1800 : 48 и 2100 : 60. Так как 1800 : 48 = 37,5; 2100 : 60 = 35, то урожайность выше на нервом участке.

Для любых двух числовых выражений можно установить, равны их значения или нет, и если они не равны, то какое из них больше и какое меньше.

Результат сравнения значений выражений молено записать в виде равенства или неравенства. Например, результат сравнения частных 1800 : 48 и 2100 : 60 можно записать в виде неравенства

1800 : 48 > 2100 : 60.

Если выражения содержат переменные, то для разных значений переменных результат сравнения значений этих выражений может оказаться различным.

Сравним, например, значения выражений 2а и а + 4 при а = 0; 4; 10.

Если а = 0, то 2а = 0 и а + 4 = 4, т. е. при а = 0 верно неравенство 2а < а + 4.

Если а = 4, то 2а = 8 и а + 4 = 8, т. е. при а = 4 верно равенство 2а = а + 4.

Если а = 10, то 2а = 20 и а + 4 = 14, т. е. при а = 10 верно неравенство 2а > а + 4.

Иногда требуется установить, между какими числами заключено значение выражения.

Рассмотрим пример. Пусть при взвешивании металлического шарика установили, что ого масса больше 86 г, но меньше 87 г. Обозначим массу шарика (в граммах) буквой m. Тогда результат взвешивания можно записать так: m > 86 и m < 87, или иначе: 86 < m и m < 87.

Два неравенства 86 < m и m < 87 можно записать в виде двойного неравенства

86 < m < 87.

Неравенство 86 < m < 87 читают так: «86 меньше m и m меньше 87» — или короче: «m больше 86 и меньше 87».

Рассмотрим ещё один пример. Число дней в месяце меньше 31 или равно 31. Обозначим число дней в месяце буквой n. Тогда

n < 31 или n = 31.

Вместо этой записи обычно пишут одно неравенство

n < 31

(читают: «« меньше или равно 31»).

Число дней в месяце больше или равно 28:

n > 28 или n = 28.

В таких случаях также пишут короче:

n > 28

(читают: «n больше или равно 28»).

Так как n ≥ 28, то 28 ≤ n.

Два неравенства 28 < n и n e < 31 можно записать в виде двойного неравенства

28 < n < 31.

Упражнения

47. Сравните значения выражений:

    

48. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

    

49. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

    

50. Сравните значения выражений:

    

51. Сравните значения выражений:

    

52. Сравните значения выражений:

    

53. Сравните значения выражений:

    

54. Верно ли неравенство 2х + 5 < Зх при х = 4,2; 5; 6,5?
55. Прочитайте неравенство:

    

56. Запишите в виде двойного неравенства:

    а) 8 меньше 13 и 13 меньше 15;
    б) 4,1 меньше 4,18 и 4,18 меньше 4,2;
    в) 63,5 больше 63 и меньше 64;
    г) -8,1 больше -11 и меньше -7;
    д) а больше 1,8 и меньше 2,8;
    е) х больше а и меньше b.

57. Подберите какое-нибудь число, заключённое между числами:

    

    Результат запишите в виде двойного неравенства.

58. Запишите в виде двойного неравенства:

    а) 0,79 больше 0,7 и меньше 0,8;
    б) 6 больше 6 и меньше 7;
    в) -4,6 больше -10 и меньше 0;
    г) m больше -16 и меньше -15;
    д) k больше 2,65 и меньше 2,66;
    е) у больше m и меньше n.

59. На координатной прямой точками отмечены числа а, b и с (рис. 3). Укажите для каждой точки соответствующее ей число, если известно, что а > b и с > а. Составьте из чисел а, b и с двойное неравенство с помощью знака с.

Рис. 3

60. Прочитайте неравенство:

    

61. Верно ли неравенство:

    

62. Запишите с помощью знаков неравенства:

    а) х меньше или равно 8;
    б) у больше или равно 0;
    в) а больше 5 и меньше или равно 7;
    г) b больше или равно -2 и меньше 1.

63. Запишите в виде неравенства:

    а) х — отрицательное число;
    б) m — положительное число;
    в) у — неотрицательное число;
    г) z — неположительное число.

64. Запишите в виде двойного неравенства:

    а) х больше или равно 11 и меньше 12;
    б) у больше 50 и меньше или равно 100;
    в) а больше 350 и меньше 400;
    г) b больше или равно -100 и меньше или равно -10.

65. Один автомобиль прошёл 700 км за х ч, а другой автомобиль прошёл 630 км за у ч. Сравните средние скорости автомобилей, если:

    а) х = 12,5, у = 10,5;
    б) х = у = 14.

66. Сколько процентов составляет:

    а) число 8 от числа 200;
    б) число 2,1 от числа 14?

67. В результате рационализации производства удалось сократить число рабочих на комбинате. Вместо 1600 их осталось 1200. На сколько процентов сократилось число рабочих?
68. Найдите значение выражения:

    

69. Запишите в виде выражения:

    а) сумму числа х и произведения чисел а и b;
    б) частное от деления числа а на разность чисел b и с;
    в) произведение суммы чисел х и а и разности чисел х и b.

Контрольные вопросы и задания

Приведите пример числового выражения и выражения с переменными.

Имеет ли смысл выражение:

Сравните значения выражений x + 3 и Зх при х = -4; 1,5; 5. Приведите пример двойного неравенства и прочитайте его. Как читаются знаки ≥ и ≤? Какое неравенство называется строгим и какое нестрогим? Приведите пример строгого неравенства, нестрогого неравенства.